En trekant er en polygon med tre sider (tre hjørner). Oftest er siderne betegnet med små bogstaver, svarende til de store bogstaver, der betegner modstående hjørner. I denne artikel vil vi stifte bekendtskab med typerne af disse geometriske former, sætningen, der bestemmer, hvad summen af vinklerne i en trekant er.
Visninger efter vinkel
Der skelnes mellem følgende typer polygoner med tre spidser:
- spidsvinklet, hvor alle hjørner er skarpe;
- rektangulært, med én ret vinkel, mens siderne, der danner den, kaldes ben, og den side, der er placeret modsat den rette vinkel, kaldes hypotenusen;
- stump, når det ene hjørne er stump;
- ligebenede, hvor to sider er lige store, og de kaldes laterale, og den tredje er trekantens basis;
- ligesidet, med alle tre lige sider.
Properties
De fremhæver de vigtigste egenskaber, der er karakteristiske for hver type trekant:
- modsat den større side er der altid en større vinkel, og omvendt;
- modsatte sider af samme størrelse er lige store vinkler og omvendt;
- enhver trekant har to spidse vinkler;
- et udvendigt hjørne er større end ethvert indvendigt hjørne, der ikke støder op til det;
- summen af to vinkler er altid mindre end 180 grader;
- ydre hjørne er lig med summen af de to andre hjørner, der ikke skærer det.
Trekantsum af vinkler-sætning
Sætningen siger, at hvis man lægger alle vinklerne sammen for en given geometrisk figur, som er placeret på det euklidiske plan, så vil deres sum være 180 grader. Lad os prøve at bevise denne sætning.
Lad os have en vilkårlig trekant med hjørner af KMN.
Gennem toppunktet M tegnes en ret linje parallelt med den rette linje KN (denne linje kaldes også den euklidiske rette linje). Vi markerer punkt A på den på en sådan måde, at punkterne K og A er placeret på hver sin side af den lige linje MN. Vi får lige store vinkler AMN og KNM, der ligesom indvendige ligger på tværs og dannes af sekanten MN sammen med rette linjer KN og MA, som er parallelle. Heraf følger, at summen af vinklerne i trekanten placeret ved toppunkterne M og H er lig med størrelsen af vinklen KMA. Alle tre vinkler udgør summen, som er lig med summen af vinklerne KMA og MKN. Da disse vinkler er indvendige ensidige mhpparallelle lige linjer KN og MA med en sekant KM, deres sum er 180 grader. Sætning bevist.
Konsekvens
Følgende konsekvens følger af sætningen bevist ovenfor: enhver trekant har to spidse vinkler. For at bevise dette, lad os antage, at en given geometrisk figur kun har én spids vinkel. Det kan også antages, at ingen af vinklerne er spidse. I dette tilfælde skal der være mindst to vinkler, der er lig med eller større end 90 grader. Men så vil summen af vinklerne være større end 180 grader. Men det kan ikke være, for ifølge sætningen er summen af vinklerne i en trekant 180 ° - hverken mere eller mindre. Det var det, der skulle bevises.
Udvendig hjørneejendom
Hvad er summen af vinklerne i en trekant, der er eksterne? Dette spørgsmål kan besvares på en af to måder. Den første er, at det er nødvendigt at finde summen af vinklerne, som tages en ved hvert toppunkt, det vil sige tre vinkler. Den anden indebærer, at du skal finde summen af alle seks vinkler ved hjørnerne. Lad os først behandle den første mulighed. Så trekanten indeholder seks ydre hjørner - to ved hvert toppunkt.
Hvert par har lige store vinkler, fordi de er lodrette:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Desuden er det kendt, at den ydre vinkel i en trekant er lig med summen af to indre vinkler, der ikke skærer den. Derfor
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Heraf viser det sig, at summen af eksternehjørner, som tages et ved hvert toppunkt, vil være lig med:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Givet at summen af vinklerne er 180 grader, kan det argumenteres for, at ∟A + ∟B + ∟C=180°. Og det betyder, at ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Hvis den anden mulighed bruges, så vil summen af de seks vinkler være henholdsvis dobbelt så stor. Det vil sige, at summen af trekantens ydre vinkler vil være:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Højre trekant
Hvad er summen af de spidse vinkler i en retvinklet trekant? Svaret på dette spørgsmål følger igen af sætningen, som siger, at vinklerne i en trekant summeres til 180 grader. Og vores udsagn (egenskab) lyder sådan her: i en retvinklet trekant summer spidse vinkler op til 90 grader. Lad os bevise dens rigtighed.
Lad os få en trekant KMN, hvor ∟Н=90°. Det er nødvendigt at bevise, at ∟K + ∟M=90°.
Altså ifølge vinkelsumsætningen ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Vores betingelse siger, at ∟Н=90°. Så det viser sig, ∟K + ∟M + 90°=180°. Det vil sige ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Det var det, vi skulle bevise.
Ud over ovenstående egenskaber for en retvinklet trekant kan du tilføje følgende:
- vinkler, der ligger mod benene, er skarpe;
- hypotenusen er mere trekantet end nogen af benene;
- summen af benene er større end hypotenusen;
- benen trekant, der ligger modsat en vinkel på 30 grader, er halvdelen af hypotenusen, det vil sige lig med halvdelen af den.
Som en anden egenskab ved denne geometriske figur kan Pythagoras sætning skelnes fra hinanden. Hun angiver, at i en trekant med en vinkel på 90 grader (rektangulær) er summen af kvadraterne på benene lig med kvadratet på hypotenusen.
Summen af vinklerne i en ligebenet trekant
Tidligere sagde vi, at ligebenet er en polygon med tre hjørner, der indeholder to lige store sider. Denne egenskab for en given geometrisk figur er kendt: vinklerne ved dens base er lige store. Lad os bevise det.
Tag trekanten KMN, som er ligebenet, KN er dens base.
Vi er forpligtet til at bevise, at ∟К=∟Н. Så lad os sige, at MA er halveringslinjen i vores trekant KMN. MCA trekanten, under hensyntagen til det første tegn på lighed, er lig med MCA trekanten. Ved betingelse er det nemlig givet, at KM=NM, MA er en fælles side, ∟1=∟2, da MA er en halveringslinje. Ved at bruge det faktum, at disse to trekanter er lige store, kan vi fastslå, at ∟K=∟Н. Så sætningen er bevist.
Men vi er interesserede i, hvad der er summen af vinklerne i en trekant (ligebenet). Da det i denne henseende ikke har sine egne ejendommeligheder, vil vi tage udgangspunkt i den sætning, der blev behandlet tidligere. Det vil sige, vi kan sige, at ∟K + ∟M + ∟H=180°, eller 2 x ∟K + ∟M=180° (da ∟K=∟H). Vi vil ikke bevise denne egenskab, da selve trekantssumsætningen blev bevist tidligere.
Undtagen som diskuteretegenskaber om vinklerne i en trekant, er der også sådanne vigtige udsagn:
- i en ligebenet trekant er højden, der blev sænket til basen, både medianen, halveringslinjen for vinklen, der er mellem lige store sider, samt symmetriaksen for dens base;
- medianer (halveringslinjer, højder), der er tegnet til siderne af en sådan geometrisk figur, er ens.
Ligesidet trekant
Det kaldes også ret, det er trekanten med alle sider lige. Derfor er vinklerne også lige store. Hver af dem er 60 grader. Lad os bevise denne ejendom.
Antag, at vi har en trekant KMN. Vi ved, at KM=NM=KN. Og det betyder, at ifølge egenskaben af vinklerne placeret ved basen i en ligebenet trekant, ∟К=∟М=∟Н. Da summen af vinklerne i en trekant ifølge sætningen er ∟К + ∟М + ∟Н=180°, så er 3 x ∟К=180° eller ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Í=60°. Dermed er udsagnet bevist.
Som du kan se af ovenstående bevis baseret på sætningen, er summen af vinklerne i en ligesidet trekant, ligesom summen af vinklerne i enhver anden trekant, 180 grader. Der er ingen grund til at bevise denne sætning igen.
Der er også sådanne egenskaber, der er karakteristiske for en ligesidet trekant:
- median, halveringslinje, højde i en sådan geometrisk figur er de samme, og deres længde beregnes som (a x √3): 2;
- hvis du beskriver en cirkel omkring en given polygon, vil dens radius væreer lig med (a x √3): 3;
- hvis du indskriver en cirkel i en ligesidet trekant, vil dens radius være (a x √3): 6;
- arealet af denne geometriske figur beregnes ved hjælp af formlen: (a2 x √3): 4.
Ridvinklet trekant
Ifølge definitionen af en stump trekant er en af dens vinkler mellem 90 og 180 grader. Men i betragtning af, at de to andre vinkler af denne geometriske figur er spidse, kan vi konkludere, at de ikke overstiger 90 grader. Derfor virker trekantsummen af vinkler-sætningen, når man beregner vinklernes sum i en stump trekant. Det viser sig, at vi roligt kan sige, baseret på førnævnte sætning, at summen af vinklerne i en stump trekant er 180 grader. Igen behøver denne sætning ikke at blive bevist igen.
