Pythagoras sætning: kvadratet på hypotenusen er lig med summen af benene i anden

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 05:21

Alle elever ved, at kvadratet af hypotenusen altid er lig med summen af benene, som hver er i anden. Dette udsagn kaldes Pythagoras sætning. Det er en af de mest berømte teoremer inden for trigonometri og matematik generelt. Overvej det mere detaljeret.

Begrebet en retvinklet trekant

Før vi fortsætter med at overveje Pythagoras sætning, hvor kvadratet af hypotenusen er lig med summen af de ben, der er i anden kvadrat, bør vi overveje konceptet og egenskaberne for en retvinklet trekant, for hvilken sætningen er gyldig.

Trekant er en flad figur med tre vinkler og tre sider. En retvinklet trekant har, som navnet antyder, én ret vinkel, dvs. denne vinkel er 90o.

Fra de generelle egenskaber for alle trekanter vides det, at summen af alle tre vinkler i denne figur er 180^o, hvilket betyder, at for en retvinklet trekant er summen af to vinkler, der ikke er rette, er 180^o -90^o=90^o. Det sidste faktum betyder, at enhver vinkel i en retvinklet trekant, der ikke er en ret vinkel, altid vil være mindre end 90^o.

Den side, der ligger modsat den rette vinkel, kaldes hypotenusen. De to andre sider er trekantens ben, de kan være ens med hinanden, eller de kan være forskellige. Man ved fra trigonometri, at jo større vinkel en side ligger imod i en trekant, jo større er længden af denne side. Det betyder, at i en retvinklet trekant vil hypotenusen (ligge modsat vinklen 90^o) altid være større end nogen af benene (ligge modsat vinklerne < 90^o).

Matematisk notation af Pythagoras sætning

Denne sætning siger, at kvadratet af hypotenusen er lig med summen af benene, som hver tidligere er i anden. For at skrive denne formulering matematisk skal du overveje en retvinklet trekant, hvor siderne a, b og c er henholdsvis de to ben og hypotenusen. I dette tilfælde kan sætningen, som er angivet som kvadratet af hypotenusen er lig summen af kvadraterne på benene, repræsenteres med følgende formel: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Herfra kan andre formler, der er vigtige for praksis, fås: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) og c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Bemærk, at i tilfælde af en retvinklet ligesidet trekant, dvs. a=b, er formuleringen: kvadratet på hypotenusen er lig med summen af benene, som hverkvadreret, matematisk skrevet som: c²=a² + b²=2a ^{2, hvilket antyder ligheden: c=a√2.}

Historisk baggrund

Pythagoreas sætning, som siger, at kvadratet af hypotenusen er lig med summen af benene, som hver er i anden kvadrat, var kendt længe før den berømte græske filosof lagde mærke til det. Mange papyrus fra det gamle Egypten, såvel som babyloniernes lertavler, bekræfter, at disse folk brugte den bemærkede egenskab ved siderne af en retvinklet trekant. For eksempel blev en af de første egyptiske pyramider, Khafre-pyramiden, hvis konstruktion går tilbage til det 26. århundrede f. Kr. (2000 år før Pythagoras liv), bygget på baggrund af viden om billedformatet i en 3x4x5 retvinklet trekant.

Hvorfor er sætningen nu opkaldt efter en græker? Svaret er enkelt: Pythagoras er den første, der matematisk beviser denne sætning. Efterladte babylonske og egyptiske skrifter nævner kun brugen af det, men giver ikke noget matematisk bevis.

Det menes, at Pythagoras beviste sætningen under overvejelse ved at bruge egenskaberne for lignende trekanter, som han opnåede ved at tegne en højde i en retvinklet trekant fra vinklen 90o til hypotenusen.

Et eksempel på brug af Pythagoras sætning

Tænk på et simpelt problem: det er nødvendigt at bestemme længden af en skrånende trappe L, hvis man ved, at den har en højde H=3meter, og afstanden fra væggen, som stigen hviler mod, til foden er P=2,5 meter.

I dette tilfælde er H og P benene, og L er hypotenusen. Da længden af hypotenusen er lig med summen af kvadraterne på benene, får vi: L²=H² + P 2^{, hvorfra L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3) 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 meter eller 3 meter og 90,5 cm.}