Menneskehedens fremskridt skyldes i høj grad geniers opdagelser. En af dem er Blaise Pascal. Hans kreative biografi bekræfter endnu en gang sandheden af Lion Feuchtwangers udtryk "En talentfuld person, talentfuld i alt." Alle denne store videnskabsmands videnskabelige resultater er svære at tælle. Blandt dem er en af de mest elegante opfindelser i matematikkens verden - Pascals trekant.
Et par ord om geni
Blaise Pascal døde tidligt efter moderne standarder i en alder af 39. Imidlertid udmærkede han sig i sit korte liv som en fremragende fysiker, matematiker, filosof og forfatter. Taknemmelige efterkommere navngav presseenheden og det populære programmeringssprog Pascal til hans ære. Det har været brugt i næsten 60 år til at lære at skrive forskellige koder. For eksempel kan hver elev med dens hjælp skrive et program til at beregne arealet af en trekant i Pascal, samt udforske kredsløbets egenskaber, ca.som vil blive diskuteret nedenfor.
Denne videnskabsmands aktivitet med ekstraordinær tænkning spænder over en bred vifte af videnskabsområder. Især Blaise Pascal er en af grundlæggerne af hydrostatik, matematisk analyse, nogle områder af geometri og sandsynlighedsteori. Han:
- oprettede en mekanisk lommeregner kendt som Pascal-hjulet;
- leverede eksperimentelt bevis for, at luft har elasticitet og vægt;
- fastsat, at et barometer kan bruges til at forudsige vejret;
- opfandt trillebøren;
- opfandt omnibussen - hestevogne med faste ruter, som senere blev den første type almindelig offentlig transport osv.
Pascals aritmetiske trekant
Som allerede nævnt ydede denne store franske videnskabsmand et enormt bidrag til matematisk videnskab. Et af hans absolutte videnskabelige mesterværker er "Afhandling om den aritmetiske trekant", som består af binomiale koefficienter arrangeret i en bestemt rækkefølge. Egenskaberne ved denne ordning er slående i deres mangfoldighed, og den bekræfter selv ordsproget "Alt geni alt er enkelt!".
Lidt historie
For at være retfærdig skal det siges, at Pascals trekant faktisk var kendt i Europa allerede i begyndelsen af det 16. århundrede. Især hans billede kan ses på forsiden af en aritmetisk lærebog af den berømte astronom Peter Apian fra universitetet i Ingolstadt. En lignende trekant er også vist som illustration.i en bog af den kinesiske matematiker Yang Hui, udgivet i 1303. Den bemærkelsesværdige persiske digter og filosof Omar Khayyam var også opmærksom på dens egenskaber i begyndelsen af det 12. århundrede. Desuden menes det, at han mødte ham fra afhandlinger fra arabiske og indiske videnskabsmænd skrevet tidligere.
Description
Før du udforsker de mest interessante egenskaber ved Pascals trekant, smuk i sin perfektion og enkelhed, er det værd at vide, hvad det er.
Videnskabeligt set er dette numeriske skema en endeløs trekantet tabel dannet af binomiale koefficienter arrangeret i en bestemt rækkefølge. Øverst og på siderne er tallene 1. De resterende positioner er optaget af tal svarende til summen af de to tal placeret over dem ved siden af hinanden. Desuden er alle linjer i Pascals trekant symmetriske om dens lodrette akse.
Grundlæggende funktioner
Pascals trekant slår igennem med sin perfektion. For enhver linje nummereret n (n=0, 1, 2…) sand:
- første og sidste tal er 1;
- anden og næstsidste - n;
- det tredje tal er lig med det trekantede tal (antallet af cirkler, der kan arrangeres i en ligesidet trekant, dvs. 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Det fjerde tal er tetraedrisk, dvs. det er en pyramide med en trekant i bunden.
Derudover blev der relativt for nylig, i 1972, etableret en anden ejendom i Pascals trekant. For hamfor at finde ud af det, skal du skrive elementerne i dette skema i form af en tabel med en rækkeforskydning med 2 positioner. Bemærk derefter tallene, der er delelige med linjenummeret. Det viser sig, at tallet på kolonnen, hvor alle tallene er fremhævet, er et primtal.
Det samme trick kan gøres på en anden måde. For at gøre dette erstattes tallene i Pascals trekant med resten af deres division med rækkenummeret i tabellen. Så er linjerne arrangeret i den resulterende trekant, så den næste starter 2 kolonner til højre fra det første element i den forrige. Så vil kolonnerne med tal, der er primtal, kun bestå af nuller, og dem med sammensatte tal vil indeholde mindst ét nul.
Forbindelse med Newtons binomiale
Som du ved, er dette navnet på formlen for udvidelsen til en ikke-negativ heltalspotens af summen af to variable, som ser ud som:
Koefficienterne i dem er lig med C m =n! / (m! (n - m)!), hvor m er ordenstallet i række n i Pascals trekant. Med andre ord, med denne tabel ved hånden, kan du nemt hæve et hvilket som helst tal til en potens, efter at have dekomponeret dem i to led.
Således er Pascals trekant og Newtons binomiale tæt beslægtede.
Math Wonders
En nærmere undersøgelse af Pascals trekant afslører, at:
- summen af alle tal i linjen medserienummer n (tæller fra 0) er 2;
- hvis linjerne er venstrejusterede, så er summen af tal, der er placeret langs diagonalerne i Pascals trekant, fra bund til top og fra venstre mod højre, lig med Fibonacci-tal;
- den første "diagonal" består af naturlige tal i rækkefølge;
- ethvert element fra Pascals trekant, reduceret med én, er lig med summen af alle tal placeret inde i parallelogrammet, som er begrænset af venstre og højre diagonaler, der skærer dette tal;
- i hver linje i diagrammet er summen af tal på lige steder lig med summen af elementer på ulige steder.
Sierpinski-trekanten
Sådan et interessant matematisk skema, ret lovende med hensyn til løsning af komplekse problemer, opnås ved at farve de lige tal i Pascal-billedet i én farve og de ulige tal i en anden.
Sierpinski-trekanten kan bygges på en anden måde:
- i det skraverede Pascal-skema er den midterste trekant ommalet i en anden farve, som dannes ved at forbinde midtpunkterne på siderne af den originale;
- gør nøjagtig det samme med tre umalede i hjørnerne;
- hvis proceduren fortsættes på ubestemt tid, skal resultatet være en tofarvet figur.
Den mest interessante egenskab ved Sierpinski-trekanten er dens selvlighed, da den består af 3 af dens kopier, som er reduceret med 2 gange. Det giver os mulighed for at tilskrive denne ordning fraktale kurver, og de, som vist af den senesteforskning er bedst egnet til matematisk modellering af skyer, planter, floddeltaer og selve universet.
Flere interessante opgaver
Hvor bruges Pascals trekant? Eksempler på opgaver, der kan løses med dens hjælp, er ret forskellige og hører til forskellige videnskabsområder. Lad os tage et kig på nogle af de mere interessante.
Problem 1. En eller anden stor by omgivet af en fæstningsmur har kun én indgangsport. I det første kryds deler hovedvejen sig i to. Det samme sker på alle andre. 210 mennesker kommer ind i byen. Ved hvert af de kryds, de møder, er de delt i to. Hvor mange personer vil der blive fundet ved hvert kryds, når det ikke længere vil være muligt at dele. Hendes svar er linje 10 i Pascals trekant (koefficientformlen er præsenteret ovenfor), hvor tallene 210 er placeret på begge sider af den lodrette akse.
Opgave 2. Der er 7 navne på farver. Du skal lave en buket med 3 blomster. Det er påkrævet at finde ud af, på hvor mange forskellige måder dette kan gøres. Dette problem er fra området kombinatorik. For at løse det bruger vi igen Pascals trekant og kommer på 7. linje i tredje position (nummerering i begge tilfælde fra 0) tallet 35.
Nu ved du, hvad den store franske filosof og videnskabsmand Blaise Pascal opfandt. Dens berømte trekant kan, når den bruges korrekt, blive en rigtig livredder til at løse mange problemer, især fra markenkombinatorik. Derudover kan den bruges til at løse adskillige mysterier relateret til fraktaler.
