Ofte i livet står vi over for behovet for at vurdere chancerne for, at en begivenhed indtræffer. Om det er værd at købe en lottokupon eller ej, hvad bliver det tredje barns køn i familien, om vejret bliver klart i morgen eller det regner igen – den slags eksempler er der utallige af. I det enkleste tilfælde skal du dividere antallet af gunstige resultater med det samlede antal begivenheder. Hvis der er 10 vinderkuponer i lotteriet, og der er 50 i alt, så er chancerne for at få en præmie 10/50=0,2, altså 20 mod 100. Men hvad nu hvis der er flere begivenheder, og de er tæt på relaterede? I dette tilfælde vil vi ikke længere være interesseret i simpel, men i betinget sandsynlighed. Hvad denne værdi er, og hvordan den kan beregnes - dette vil blive diskuteret i vores artikel.
Koncept
Betinget sandsynlighed er chancen for, at en bestemt begivenhed indtræffer, givet at en anden relateret begivenhed allerede er sket. Overvej et simpelt eksempel medkaste en mønt. Hvis der ikke har været uafgjort endnu, så vil chancerne for at få hoveder eller haler være de samme. Men hvis mønten fem gange i træk lå med våbenskjoldet oppe, så gå med på at forvente den 6., 7. og endnu mere den 10. gentagelse af et sådant resultat ville være ulogisk. Med hver gentagen overskrift vokser chancerne for, at haler dukker op, og før eller siden falder den ud.
Betinget sandsynlighedsformel
Lad os nu finde ud af, hvordan denne værdi beregnes. Lad os betegne den første hændelse som B og den anden som A. Hvis chancerne for forekomst af B er forskellige fra nul, vil følgende lighed være gyldig:
P (A|B)=P (AB) / P (B), hvor:
- P (A|B) – betinget sandsynlighed for udfald A;
- P (AB) - sandsynligheden for fælles forekomst af begivenheder A og B;
- P (B) – sandsynlighed for hændelse B.
Når vi transformerer dette forhold lidt, får vi P (AB)=P (A|B)P (B). Og hvis vi anvender induktionsmetoden, så kan vi udlede produktformlen og bruge den til et vilkårligt antal hændelser:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
Øv
For at gøre det lettere at forstå, hvordan den betingede sandsynlighed for en hændelse beregnes, lad os se på et par eksempler. Antag, at der er en vase med 8 chokolader og 7 mynte. De har samme størrelse og tilfældige.to af dem trækkes ud efter hinanden. Hvad er chancerne for, at de begge bliver chokolade? Lad os introducere notation. Lad resultatet A betyde, at det første slik er chokolade, resultatet B er det andet chokolade slik. Så får du følgende:
P (A)=P (B)=8/15, P (A|B)=P (B|A)=7/14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Lad os overveje endnu en sag. Antag, at der er en familie på to børn, og vi ved, at mindst ét barn er en pige.
Hvad er den betingede sandsynlighed for, at disse forældre ikke har drenge endnu? Som i det foregående tilfælde starter vi med notation. Lad P(B) være sandsynligheden for, at der er mindst én pige i familien, P(A|B) er sandsynligheden for, at det andet barn også er en pige, P(AB) er chancerne for, at der er to piger i familien. Lad os nu lave beregningerne. I alt kan der være 4 forskellige kombinationer af børns køn, og i dette tilfælde, kun i et tilfælde (når der er to drenge i familien), vil der ikke være nogen pige blandt børnene. Derfor er sandsynligheden P (B)=3/4, og P (AB)=1/4. Derefter, efter vores formel, får vi:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Resultatet kan fortolkes som følger: hvis vi ikke kendte køn på et af børnene, så ville chancerne for to piger være 25 mod 100. Men da vi ved, at et barn er en pige, sandsynligheden for, at drengefamilien nej, stiger til en tredjedel.
