I geometri bruges to vigtige egenskaber til at studere figurer: længden af siderne og vinklerne mellem dem. I tilfælde af rumlige figurer tilføjes dihedrale vinkler til disse karakteristika. Lad os overveje, hvad det er, og også beskrive metoden til at bestemme disse vinkler ved hjælp af eksemplet med en pyramide.
Begrebet dihedral vinkel
Alle ved, at to skærende linjer danner en vinkel med toppunktet ved deres skæringspunkt. Denne vinkel kan måles med en vinkelmåler, eller du kan bruge trigonometriske funktioner til at beregne den. Vinklen dannet af to rette vinkler kaldes lineær.
Forestil dig nu, at der i tredimensionelt rum er to planer, der skærer hinanden i en lige linje. De er vist på billedet.
En dihedral vinkel er vinklen mellem to skærende planer. Ligesom lineær måles det i grader eller radianer. Hvis du kommer til et punkt på linjen, langs hvilken planerne skærer hinanden, gendan to vinkelrette linjer,ligger i disse planer, så vil vinklen mellem dem være den ønskede dihedral. Den nemmeste måde at bestemme denne vinkel på er at bruge de generelle ligninger for planer.
Ligningen af planer og formlen for vinklen mellem dem
Ligningen for ethvert plan i rummet i generelle vendinger er skrevet som følger:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Her er x, y, z koordinaterne for punkter, der hører til planet, koefficienterne A, B, C, D er nogle kendte tal. Bekvemmeligheden ved denne lighed til beregning af dihedriske vinkler er, at den eksplicit indeholder koordinaterne for planets retningsvektor. Vi vil betegne det med n¯. Så:
n¯=(A; B; C).
Vektoren n¯ er vinkelret på planet. Vinklen mellem to planer er lig med vinklen mellem deres retningsvektorer n1¯ og n2¯. Det er kendt fra matematikken, at vinklen dannet af to vektorer er entydigt bestemt ud fra deres skalarprodukt. Dette giver dig mulighed for at skrive en formel til beregning af den dihedriske vinkel mellem to planer:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Hvis vi erstatter vektorernes koordinater, vil formlen blive skrevet eksplicit:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Modultegnet i tælleren bruges kun til at definere en spids vinkel, da en dihedral vinkel altid er mindre end eller lig med 90o.
Pyramiden og dens hjørner
Pyramid er en figur dannet af én n-gon og n trekanter. Her er n et heltal lig med antallet af sider af polygonen, der er bunden af pyramiden. Denne rumlige figur er et polyeder eller polyeder, da den består af flade flader (sider).
De dihedriske vinkler af et pyramide-polyeder kan være af to typer:
- mellem basis og side (trekant);
- mellem to sider.
Hvis pyramiden anses for at være regulær, så er det let at bestemme de navngivne vinkler for den. For at gøre dette skal man ved at bruge koordinaterne til tre kendte punkter komponere en ligning af planer og derefter bruge formlen givet i afsnittet ovenfor for vinklen φ.
Nedenfor giver vi et eksempel, hvor vi viser, hvordan man finder dihedriske vinkler ved bunden af en firkantet regulær pyramide.
En firkantet regulær pyramide og en vinkel ved dens base
Antag, at en regulær pyramide med en kvadratisk base er givet. Længden af siden af firkanten er a, figurens højde er h. Find vinklen mellem bunden af pyramiden og dens side.
Lad os placere oprindelsen af koordinatsystemet i midten af firkanten. Derefter punkternes koordinaterA, B, C, D vist på billedet vil være:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Overvej flyene ACB og ADB. Det er klart, at retningsvektoren n1¯ for ACB-planet vil være:
1¯=(0; 0; 1).
For at bestemme retningsvektoren n2¯ for ADB-planet, fortsæt som følger: find to vilkårlige vektorer, der hører til det, for eksempel AD¯ og AB¯, beregn derefter deres vektorarbejde. Resultatet vil give koordinaterne n2¯. Vi har:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Da multiplikation og division af en vektor med et tal ikke ændrer dens retning, transformerer vi den resulterende n2¯, dividerer dens koordinater med -a, får vi:
2¯=(h; 0; a/2).
Vi har defineret vektorguider n1¯ og n2¯ for ACB-basis- og ADB-sideplanerne. Det er tilbage at bruge formlen for vinklen φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Omdan det resulterende udtryk og omskriv det sådan her:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Vi har fået formlen for den dihedriske vinkel ved bunden for en regulær firkantet pyramide. Ved at kende figurens højde og længden af dens side kan du beregne vinklen φ. For eksempel for Cheops-pyramiden, hvis basisside er 230,4 meter, og den oprindelige højde var 146,5 meter, vil vinklen φ være 51,8o.
Det er også muligt at bestemme den dihedriske vinkel for en firkantet regulær pyramide ved hjælp af den geometriske metode. For at gøre dette er det tilstrækkeligt at betragte en retvinklet trekant dannet af højden h, halvdelen af længden af basen a/2 og apotem af en ligebenet trekant.
