Arealet af sidefladen af en regulær firkantet pyramide: formler og eksempler på problemer

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-02 17:43

Typiske geometriske problemer i planet og i tredimensionelt rum er problemerne med at bestemme overfladearealer af forskellige former. I denne artikel præsenterer vi formlen for arealet af sidefladen af en regulær firkantet pyramide.

Hvad er en pyramide?

Lad os give en streng geometrisk definition af en pyramide. Antag, at der er en polygon med n sider og n hjørner. Vi vælger et vilkårligt punkt i rummet, der ikke vil være i planet for den angivne n-gon, og forbinder det til hvert hjørne af polygonen. Vi får en figur, der har noget volumen, som kaldes en n-gonal pyramide. Lad os for eksempel vise i figuren nedenfor, hvordan en femkantet pyramide ser ud.

To vigtige elementer i enhver pyramide er dens base (n-gon) og top. Disse elementer er forbundet med hinanden af n trekanter, som generelt ikke er ens med hinanden. Vinkelret faldet fratop til bund kaldes figurens højde. Hvis den skærer basen i det geometriske centrum (falder sammen med polygonens massecentrum), så kaldes en sådan pyramide en lige linje. Hvis basen ud over denne betingelse er en regulær polygon, så kaldes hele pyramiden regulær. Figuren nedenfor viser, hvordan regulære pyramider ser ud med trekantede, firkantede, femkantede og sekskantede baser.

Pyramidoverflade

Før vi vender os til spørgsmålet om arealet af sidefladen af en regulær firkantet pyramide, bør vi dvæle ved begrebet selve overfladen.

Som nævnt ovenfor og vist på figurerne, er enhver pyramide dannet af et sæt flader eller sider. Den ene side er basen og n sider er trekanter. Overfladen af hele figuren er summen af arealerne af hver af dens sider.

Det er praktisk at studere overfladen på eksemplet med en figur, der udfolder sig. En scanning for en regulær firkantet pyramide er vist i figurerne nedenfor.

Vi ser, at dets overfladeareal er lig med summen af fire arealer af identiske ligebenede trekanter og arealet af et kvadrat.

Det samlede areal af alle trekanter, der danner siderne af figuren, kaldes arealet af sidefladen. Dernæst vil vi vise, hvordan man beregner det for en regulær firkantet pyramide.

Arealet af sidefladen af en firkantet regulær pyramide

Til at beregne arealet af lateralenoverfladen af den angivne figur, vender vi igen til ovenstående scanning. Antag, at vi kender siden af den kvadratiske grundflade. Lad os betegne det med symbol a. Det kan ses, at hver af de fire identiske trekanter har en base med længden a. For at beregne deres samlede areal skal du kende denne værdi for en trekant. Det er kendt fra geometriforløbet, at arealet af en trekant S_{t er lig med produktet af basen og højden, som skal deles i to. Det vil sige:}

S_t=1/2t_ba.

Hvor h_b er højden af en ligebenet trekant tegnet til basen a. For en pyramide er denne højde apotemet. Nu er det tilbage at gange det resulterende udtryk med 4 for at få arealet S_{b af sidefladen for den pågældende pyramide:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Denne formel indeholder to parametre: apotemet og siden af basen. Hvis sidstnævnte er kendt under de fleste problemer, så skal førstnævnte beregnes ved at kende andre mængder. Her er formlerne til beregning af apotema h_{b for to tilfælde:}

• når længden af sideribben er kendt;
• når pyramidens højde er kendt.

Hvis vi angiver længden af sidekanten (siden af en ligebenet trekant) med symbolet L, så er apotemaet h_{b bestemt af formlen:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Dette udtryk er resultatet af at anvende Pythagoras sætning for sidefladetrekanten.

Hvis kendthøjden h af pyramiden, så kan apotemaet h_{b beregnes som følger:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Det er heller ikke svært at få dette udtryk, hvis vi inde i pyramiden betragter en retvinklet trekant dannet af benene h og a/2 og hypotenusen h_b.

Lad os vise, hvordan man anvender disse formler ved at løse to interessante problemer.

Problem med kendt overflade

Det er kendt, at det laterale overfladeareal af en regulær firkantet pyramide er 108 cm². Det er nødvendigt at beregne værdien af længden af dens apotem h_{b, hvis pyramidens højde er 7 cm.}

Lad os skrive formlen for arealet S_{b af sidefladen gennem højden. Vi har:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Her har vi lige erstattet den tilsvarende apotema-formel i udtrykket for S_{b. Lad os kvadrere begge sider af ligningen:}

S_b²=4a²h² + a^4.

For at finde værdien af a, lad os foretage en ændring af variabler:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Vi erstatter nu de kendte værdier og løser andengradsligningen:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Vi skrev kun den positive rod af denne ligning. Så vil siderne af pyramidens bund være:

a=√t=√47.8355 ≈ 6.916 cm.

For at få længden af apotemaet,bare brug formlen:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7) ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 se}

Sideoverfladen af Cheops-pyramiden

Bestem værdien af det laterale overfladeareal for den største egyptiske pyramide. Det er kendt, at der ved dens base ligger en firkant med en sidelængde på 230.363 meter. Højden af strukturen var oprindeligt 146,5 meter. Erstat disse tal i den tilsvarende formel for S_{b, vi får:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Den fundne værdi er lidt større end arealet af 17 fodboldbaner.