Stereometri, som en gren af geometri i rummet, studerer egenskaberne af prismer, cylindre, kegler, kugler, pyramider og andre tredimensionelle figurer. Denne artikel er viet til en detaljeret gennemgang af karakteristika og egenskaber ved en sekskantet regulær pyramide.
Hvilken pyramide vil blive studeret
En regulær sekskantet pyramide er en figur i rummet, som er begrænset af en ligesidet og ligekantet sekskant og seks identiske ligebenede trekanter. Disse trekanter kan også være ligesidede under visse betingelser. Denne pyramide er vist nedenfor.
Den samme figur er vist her, kun i det ene tilfælde drejes den med sidefladen mod læseren, og i den anden - med sidekanten.
En regulær sekskantet pyramide har 7 flader, som blev nævnt ovenfor. Den har også 7 hjørner og 12 kanter. I modsætning til prismer har alle pyramider et særligt toppunkt, som er dannet af skæringspunktet mellem den lateraletrekanter. For en almindelig pyramide spiller den en vigtig rolle, da vinkelret sænket fra det til bunden af figuren er højden. Yderligere vil højden blive angivet med bogstavet h.
Den viste pyramide kaldes korrekt af to årsager:
- ved sin base er en sekskant med lige sidelængder a og lige store vinkler på 120o;
- Højden af pyramiden h skærer sekskanten nøjagtigt i dens centrum (skæringspunktet ligger i samme afstand fra alle sider og fra alle hjørner af sekskanten).
Overfladeareal
Egenskaber for en regulær sekskantet pyramide vil blive taget i betragtning ud fra definitionen af dens område. For at gøre dette er det først nyttigt at folde figuren ud på et fly. En skematisk repræsentation af det er vist nedenfor.
Det kan ses, at arealet af sweep, og dermed hele overfladen af den betragtede figur, er lig med summen af arealer af seks identiske trekanter og en sekskant.
For at bestemme arealet af en sekskant S6 skal du bruge den universelle formel for en regulær n-gon:
S=n/4a2ctg(pi/n)=>
S6=3√3/2a2.
Hvor a er længden af siden af sekskanten.
Arealet af en trekant S3 af sidesiden kan findes, hvis du kender værdien af dens højde hb:
S3=1/2tba.
Fordi alle sekstrekanter er lig med hinanden, så får vi et arbejdsudtryk til bestemmelse af arealet af en sekskantet pyramide med den korrekte base:
S=S6+ 6S3=3√3/2a2 + 61/2hba=3a(√3/2a + hb).
Pyramidvolumen
Ligesom området er volumenet af en sekskantet regulær pyramide dens vigtige egenskab. Dette volumen beregnes af den generelle formel for alle pyramider og kegler. Lad os skrive det ned:
V=1/3Soh.
Her er symbolet So arealet af den sekskantede base, dvs. So=S 6.
Ved at erstatte ovenstående udtryk for S6 i formlen for V, når vi frem til den endelige lighed til bestemmelse af rumfanget af en regulær sekskantet pyramide:
V=√3/2a2h.
Et eksempel på et geometrisk problem
I en regulær sekskantet pyramide er sidekanten dobbelt så lang som basissiden. Ved at vide, at sidstnævnte er 7 cm, er det nødvendigt at beregne overfladearealet og volumen af denne figur.
Som du måske kan gætte, involverer løsningen af dette problem brugen af ovenstående udtryk for S og V. Ikke desto mindre vil det ikke være muligt at bruge dem med det samme, da vi ikke kender apotemet og højden af en regulær sekskantet pyramide. Lad os beregne dem.
Apotemet hb kan bestemmes ved at betragte en retvinklet trekant bygget på siderne b, a/2 og hb. Her er b længden af sidekanten. Ved at bruge problemets tilstand får vi:
hb=√(b2-a2/4)=√(14) 2-72/4)=13, 555 cm.
Pyramidens højde h kan bestemmes på nøjagtig samme måde som et apotem, men nu skal vi overveje en trekant med siderne h, b og a, placeret inde i pyramiden. Højden vil være:
h=√(b2- a2)=√(142- 7 2)=12, 124 cm.
Det kan ses, at den beregnede højdeværdi er mindre end den for apotemet, hvilket er sandt for enhver pyramide.
Nu kan du bruge udtryk for volumen og areal:
S=3a(√3/2a + hb)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm2;
V=√3/2a2h=√3/27212, 124=514, 48 cm3.
For utvetydigt at bestemme enhver karakteristik af en regulær sekskantet pyramide, skal du kende to af dens lineære parametre.
