Beregning af rumfang af rumlige figurer er en af stereometriens vigtige opgaver. I denne artikel vil vi overveje spørgsmålet om at bestemme volumenet af et sådant polyeder som en pyramide og også give formlen for volumenet af en regulær sekskantet pyramide.
sekskantet pyramide
Først, lad os se på, hvad tallet er, som vil blive diskuteret i artiklen.
Lad os have en vilkårlig sekskant, hvis sider ikke nødvendigvis er ens med hinanden. Antag også, at vi har valgt et punkt i rummet, der ikke er i sekskantens plan. Ved at forbinde alle hjørnerne af sidstnævnte med det valgte punkt får vi en pyramide. To forskellige pyramider med en sekskantet base er vist i figuren nedenfor.
Det kan ses, at figuren udover sekskanten består af seks trekanter, hvis forbindelsespunkt kaldes toppunktet. Forskellen mellem de afbildede pyramider er, at højden h til højre for dem ikke skærer den sekskantede base i dens geometriske centrum, og højden af den venstre figur falderlige i det centrum. Takket være dette kriterium blev den venstre pyramide kaldt lige, og den højre - skrå.
Da bunden af den venstre figur i figuren er dannet af en sekskant med lige store sider og vinkler, kaldes den korrekt. Længere i artiklen vil vi kun tale om denne pyramide.
Volumen af den sekskantede pyramide
For at beregne rumfanget af en vilkårlig pyramide er følgende formel gyldig:
V=1/3tSo
Her er h længden af figurens højde, So er arealet af dens base. Lad os bruge dette udtryk til at bestemme volumenet af en regulær sekskantet pyramide.
Da den betragtede figur er baseret på en ligesidet sekskant, kan du til at beregne dens areal bruge følgende generelle udtryk for en n-gon:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Her er n et heltal lig med antallet af sider (hjørner) af polygonen, a er længden af dens side, cotangensfunktionen beregnes ved hjælp af de relevante tabeller.
Ved at anvende udtrykket for n=6, får vi:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Nu er det tilbage at erstatte dette udtryk med den generelle formel for bind V:
V6=S6h=√3/2ha2
For at beregne rumfanget af den pågældende pyramide er det således nødvendigt at kende dens to lineære parametre: længden af siden af basen og højden af figuren.
Eksempel på problemløsning
Lad os vise, hvordan det opnåede udtryk for V6 kan bruges til at løse følgende problem.
Det er kendt, at volumenet af en regulær sekskantet pyramide er 100 cm3. Det er nødvendigt at bestemme siden af basen og højden af figuren, hvis det vides, at de er relateret til hinanden ved følgende lighed:
a=2t
Da kun a og h er inkluderet i formlen for volumen, kan enhver af disse parametre erstattes af den, udtrykt i form af den anden. Hvis du for eksempel erstatter a, får vi:
V6=√3/2t(2t)2=>
h=∛(V6/(2√3))
For at finde værdien af højden af en figur skal du tage roden af tredje grad fra volumen, som svarer til længdens dimension. Vi erstatter volumenværdien V6 af pyramiden fra problemformuleringen, vi får højden:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm
Da siden af basen, i overensstemmelse med problemets tilstand, er dobbelt så stor som den fundne værdi, får vi værdien for den:
a=2t=23, 0676=6, 1352cm
Rumfanget af en sekskantet pyramide kan findes ikke kun gennem højden af figuren og værdien af siden af dens base. Det er nok at kende to forskellige lineære parametre for pyramiden for at beregne den, for eksempel apotemaet og længden af sidekanten.
