Kvantitativ undersøgelse af rotationsbevægelsens dynamik og kinematik kræver viden om inertimomentet for et materialepunkt og et stift legeme i forhold til rotationsaksen. Vi vil i artiklen overveje, hvilken parameter vi taler om, og også give en formel til at bestemme det.
Generelle oplysninger om den fysiske mængde
Først skal vi definere inertimomentet for et materialepunkt og et stift legeme, og derefter vise, hvordan det skal bruges til at løse praktiske problemer.
Under den angivne fysiske karakteristik for et punkt med massen m, som roterer rundt om aksen i en afstand r, menes følgende værdi:
I=mr².
Hvor det følger, at måleenheden for den undersøgte parameter er kilogram pr. kvadratmeter (kgm²).
Hvis, i stedet for et punkt omkring en akse, et legeme med kompleks form roterer, som har en vilkårlig fordeling af masse inde i sig selv, så bestemmes dets inertimomentså:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Hvor ρ er densiteten af kroppen. Ved hjælp af integralformlen kan du bestemme værdien af I for absolut ethvert rotationssystem.
Inertimoment har nøjagtig samme betydning for rotation, som masse har for translationel bevægelse. For eksempel ved alle, at det er nemmest at dreje en gulvmoppe rundt om en akse, der går gennem håndtaget, end gennem en vinkelret. Dette skyldes det faktum, at inertimomentet i det første tilfælde er meget mindre end i det andet.
Jeg værdsætter for kroppe med forskellige former
Når man løser problemer i fysik til rotation, er det ofte nødvendigt at kende inertimomentet for et legeme med en specifik geometrisk form, for eksempel for en cylinder, kugle eller stang. Hvis vi anvender formlen skrevet ovenfor for I, så er det let at få det tilsvarende udtryk for alle markerede legemer. Nedenfor er formlerne for nogle af dem:
stang: I=1/12ML²;
cylinder: I=1/2MR²;
sfære: I=2/5MR².
Her er jeg angivet for rotationsaksen, som passerer gennem kroppens massecenter. I tilfælde af en cylinder er aksen parallel med figurens generator. Inertimomentet for andre geometriske legemer og muligheder for placeringen af rotationsakserne kan findes i de tilsvarende tabeller. Bemærk, at for at bestemme forskellige figurer, er det nok kun at kende én geometrisk parameter og kroppens masse.
Steiners sætning og formel
Inertimoment kan bestemmes, hvis rotationsaksen er placeret i en vis afstand fra kroppen. For at gøre dette skal du kende længden af dette segment og værdien IO af kroppen i forhold til den akse, der går gennem midten af dens masse, som skal være parallel med den under betragtning. Etablering af en forbindelse mellem parameteren IO og den ukendte værdi I er fastsat i Steiners sætning. Inertimomentet for et materielt punkt og et stift legeme er matematisk skrevet som følger:
I=IO+ Mh2.
Her er M kroppens masse, h er afstanden fra massemidtpunktet til rotationsaksen, i forhold til hvilken det er nødvendigt at beregne I. Dette udtryk er nemt at opnå på egen hånd, hvis du brug integralformlen for I og tag højde for, at alle punkter i kroppen er i afstand r=r0 + h.
Steiners sætning forenkler i høj grad definitionen af I i mange praktiske situationer. For eksempel, hvis du skal finde I for en stang med længden L og massen M i forhold til en akse, der passerer gennem dens ende, så giver anvendelse af Steiner-sætningen dig mulighed for at skrive:
I=IO+ M(L / 2)2=1/12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Du kan henvise til den tilsvarende tabel og se, at den indeholder præcis denne formel for en tynd stang med en rotationsakse for enden.
Øjebliksligning
I rotationsfysikken er der en formel kaldet momenternes ligning. Det ser sådan ud:
M=Iα.
Her er M kraftmomentet, α er vinkelaccelerationen. Som du kan se, er inertimomentet for et materialepunkt og et stift legeme og kraftmomentet lineært relateret til hinanden. Værdien M bestemmer muligheden for en kraft F til at skabe en rotationsbevægelse med acceleration α i systemet. For at beregne M skal du bruge følgende simple udtryk:
M=Fd.
Hvor d er momentets skulder, som er lig med afstanden fra kraftvektoren F til rotationsaksen. Jo mindre arm d, jo mindre evne vil kraften have til at skabe rotation af systemet.
Momenternes ligning i sin betydning er fuldt ud i overensstemmelse med Newtons anden lov. I dette tilfælde spiller jeg rollen som inertimassen.
Eksempel på problemløsning
Lad os forestille os et system, der er en cylinder fastgjort på en lodret akse med en vægtløs vandret stang. Det er kendt, at rotationsaksen og cylinderens hovedakse er parallelle med hinanden, og afstanden mellem dem er 30 cm. Cylinderens masse er 1 kg, og dens radius er 5 cm. En kraft på 10 N tangent til rotationsbanen virker på figuren, hvis vektor passerer gennem cylinderens hovedakse. Det er nødvendigt at bestemme figurens vinkelacceleration, som denne kraft vil forårsage.
Først, lad os beregne inertimomentet for I-cylinderen. For at gøre dette skal du anvende Steiner-sætningen, vi har:
I=IO+ M d²=1/2MR² + Md²=1/210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Før du bruger momentligningen, skal dubestemme kraftmomentet M. I dette tilfælde har vi:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Nu kan du bestemme accelerationen:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
Den beregnede vinkelacceleration indikerer, at cylinderens hastighed hvert sekund vil stige med 5,2 omdrejninger pr. sekund.
