Arealet af sidefladen og volumenet af en afkortet pyramide: formler og et eksempel på løsning af et typisk problem

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-02 17:43

Når man studerer figurers egenskaber i tredimensionelt rum inden for rammerne af stereometri, skal man ofte løse problemer for at bestemme volumen og overfladearealet. I denne artikel vil vi vise, hvordan man beregner volumen og lateral overfladeareal for en afkortet pyramide ved hjælp af velkendte formler.

Pyramide i geometri

I geometri er en almindelig pyramide en figur i rummet, som er bygget på en flad n-gon. Alle dens hjørner er forbundet med et punkt placeret uden for polygonens plan. Her er for eksempel et billede, der viser en femkantet pyramide.

Denne figur er dannet af flader, spidser og kanter. Den femkantede flade kaldes basen. De resterende trekantede flader danner sidefladen. Skæringspunktet for alle trekanter er pyramidens hovedspids. Hvis en vinkelret sænkes fra den til basen, er to muligheder for positionen af skæringspunktet mulige:

• i det geometriske centrum, så kaldes pyramiden en lige linje;
• ikke medgeometrisk centrum, så vil figuren være skrå.

Vi vil endvidere kun overveje lige figurer med en regulær n-gonal base.

Hvad er dette tal - en afkortet pyramide?

For at bestemme volumen af en afkortet pyramide er det nødvendigt at forstå, hvilken figur der specifikt er tale om. Lad os afklare dette problem.

Antag, at vi tager et skæreplan, der er parallelt med bunden af en almindelig pyramide, og skærer en del af sidefladen af med det. Hvis denne operation udføres med den femkantede pyramide vist ovenfor, vil du få sådan en figur som i figuren nedenfor.

På billedet kan det ses, at denne pyramide allerede har to baser, og den øverste ligner den nederste, men den er mindre i størrelse. Sidefladen er ikke længere repræsenteret af trekanter, men af trapezoider. De er ligebenede, og deres antal svarer til antallet af sider af basen. Den afkortede figur har ikke et hovedpunkt, som en regulær pyramide, og dens højde bestemmes af afstanden mellem parallelle baser.

I det generelle tilfælde, hvis den betragtede figur er dannet af n-gonale baser, har den n+2 flader eller sider, 2n hjørner og 3n kanter. Det vil sige, at den afkortede pyramide er et polyeder.

Formel for volumen af en afkortet pyramide

Husk, at rumfanget af en almindelig pyramide er 1/3 af produktet af dens højde og grundareal. Denne formel er ikke egnet til en afkortet pyramide, da den har to baser. Og dens volumenvil altid være mindre end den samme værdi for det regulære tal, som det er afledt af.

Uden at gå ind i de matematiske detaljer for at opnå udtrykket, præsenterer vi den endelige formel for rumfanget af en afkortet pyramide. Det er skrevet som følger:

V=1/3t(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Here S₁ og S_{2 er arealet af henholdsvis den nederste og den øvre base, h er højden af figuren. Det skriftlige udtryk er gyldigt ikke kun for en lige regulær afkortet pyramide, men også for enhver figur af denne klasse. Desuden uanset typen af basispolygoner. Den eneste betingelse, der begrænser brugen af udtrykket for V, er behovet for, at pyramidens baser er parallelle med hinanden.}

Der kan drages flere vigtige konklusioner ved at studere denne formels egenskaber. Så hvis arealet af den øvre base er nul, kommer vi til formlen for V i en almindelig pyramide. Hvis grundfladernes areal er lig med hinanden, får vi formlen for prismets rumfang.

Hvordan bestemmer man det laterale overfladeareal?

Kendskab til en afkortet pyramides karakteristika kræver ikke kun evnen til at beregne dens volumen, men også at vide, hvordan man bestemmer arealet af sidefladen.

Trunkeret pyramide består af to typer ansigter:

• ligebenede trapezoider;
• polygonale baser.

Hvis der er en regulær polygon i baserne, repræsenterer beregningen af dens areal ikke storvanskeligheder. For at gøre dette behøver du kun at kende længden af siden a og deres nummer n.

I tilfælde af en lateral overflade involverer beregningen af dens areal at bestemme denne værdi for hver af de n trapezoider. Hvis n-gonen er korrekt, bliver formlen for det laterale overfladeareal:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Her er h_b højden af trapezformen, som kaldes figurens apoteme. Mængderne a₁ og a_{2er længderne af siderne af regulære n-gonale baser.}

For hver regulær n-gonal afkortet pyramide kan apotemaet h_b defineres unikt gennem parametrene a₁ og a _{2og højden h af formen.}

Opgaven med at beregne volumen og arealet af en figur

Givet en regulær trekantet afkortet pyramide. Det er kendt, at dens højde h er 10 cm, og længden af siderne af baserne er 5 cm og 3 cm. Hvad er volumen af den afkortede pyramide og arealet af dens sideflade?

Lad os først beregne værdien V. For at gøre dette skal du finde arealer af ligesidede trekanter placeret ved figurens basis. Vi har:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825 cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3.897 cm²

Erstat dataene i formlen for V, vi får den ønskede volumen:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Du bør vide det for at bestemme sidefladenapotem længde h_{b. I betragtning af den tilsvarende retvinklede trekant inde i pyramiden kan vi skrive ligheden for den:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

Værdien af apotemet og siderne af de trekantede baser erstattes med udtrykket S_{b, og vi får svaret:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2cm²

Sådan besvarede vi alle spørgsmålene om problemet: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.