Formler til bestemmelse af afstanden fra et punkt til et plan og fra et punkt til en linje

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-02 17:43

Når du kender afstanden fra et punkt til et plan eller til en lige linje, kan du beregne volumen og overfladearealet af figurer i rummet. Beregningen af denne afstand i geometri udføres ved hjælp af de tilsvarende ligninger for de specificerede geometriske objekter. I artiklen vil vi vise, hvilke formler der kan bruges til at bestemme det.

Linje- og planligninger

Før vi giver formler til at bestemme afstanden fra et punkt til et plan og til en linje, lad os vise, hvilke ligninger der beskriver disse objekter.

For at definere et punkt, bruges et sæt koordinater i det givne system af koordinatakser. Her vil vi kun betragte det kartesiske rektangulære system, hvor akserne har de samme enhedsvektorer og er indbyrdes vinkelrette. På et fly er et vilkårligt punkt beskrevet med to koordinater i rummet - med tre.

Forskellige typer ligninger bruges til at definere en ret linje. I overensstemmelse med artiklens emne præsenterer vikun to af dem, som bruges i todimensionelt rum til at definere linjer.

Vektorligning. Den har følgende notation:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Det første led her repræsenterer koordinaterne for et kendt punkt, der ligger på linjen. Det andet led er retningsvektorkoordinaterne ganget med et vilkårligt tal λ.

Generel ligning. Dens notation er som følger:

Ax + By + C=0;

hvor A, B, C er nogle koefficienter.

Den generelle ligning bruges oftere til at bestemme linjer på et plan, men for at finde afstanden fra et punkt til en linje på et plan, er det mere bekvemt at arbejde med et vektorudtryk.

Et plan i tredimensionelt rum kan også skrives på flere matematiske måder. Ikke desto mindre er der oftest i opgaver en generel ligning, som er skrevet som følger:

Ax + By + Cz + D=0.

Fordelen ved denne notation i forhold til de andre er, at den eksplicit indeholder koordinaterne for en vektor vinkelret på planet. Denne vektor kaldes en guide for den, den falder sammen med normalens retning, og dens koordinater er lig med (A; B; C).

Bemærk, at ovenstående udtryk falder sammen med formen for at skrive en generel ligning for en ret linje i todimensionelt rum, så når du løser problemer, skal du passe på ikke at forveksle disse geometriske objekter.

Afstand mellem punkt og linje

Lad os vise, hvordan man beregner afstanden mellem en ret linje ogpunkt i todimensionelt rum.

Lad der være et punkt Q(x₁; y_{1) og en linje givet af:}

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Afstanden mellem en linje og et punkt forstås som længden af et stykke vinkelret på denne linje, sænket ned på den fra punktet Q.

Før du beregner denne afstand, bør du erstatte Q-koordinaterne i denne ligning. Hvis de opfylder det, så hører Q til den givne linje, og den tilsvarende afstand er lig med nul. Hvis punktets koordinater ikke fører til lighed, så er afstanden mellem geometriske objekter ikke-nul. Det kan beregnes ved hjælp af formlen:

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.

Her er P et vilkårligt punkt på den rette linje, som er begyndelsen af vektoren PQ¯. Vektoren u¯ er et guidesegment for en ret linje, dvs. dens koordinater er (a; b).

Brug af denne formel kræver evnen til at beregne krydsproduktet i tælleren.

Problem med et punkt og en linje

Lad os sige, at du skal finde afstanden mellem Q(-3; 1) og en ret linje, der opfylder ligningen:

y=5x -2.

Ved at erstatte Q-koordinaterne i udtrykket kan vi sikre, at Q ikke ligger på linjen. Du kan anvende formlen for d givet i afsnittet ovenfor, hvis du repræsenterer denne ligning i vektorform. Lad os gøre det sådan her:

(x; y)=(x; 5x -2)=>

(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>

(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>

(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).

Lad os nu tage ethvert punkt på denne linje, for eksempel (0; -2), og bygge en vektor, der starter ved den og slutter ved Q:

(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).

Anvend nu formlen for at bestemme afstanden, vi får:

d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.

Afstand fra punkt til fly

Som i tilfældet med en ret linje, forstås afstanden mellem et plan og et punkt i rummet som længden af segmentet, der fra et givet punkt er sænket vinkelret på planet og skærer det.

I rummet er et punkt givet af tre koordinater. Hvis de er lig med (x₁; y₁; z_{1), så er afstanden mellem plan og det punkt kan beregnes ved hjælp af formlen:}

d=|Ax₁ + By₁ + Cz₁+ D|/√(A²+B²+C^2).

Bemærk, at brugen af formlen giver dig mulighed for kun at finde afstanden fra flyet til linjen. For at finde koordinaterne for det punkt, hvor et vinkelret segment skærer en plan, er det nødvendigt at skrive en ligning for den linje, som dette segment tilhører, og derefter finde et fælles punkt for denne linje og en given plan.

Problem med et fly og et punkt

Find afstanden fra et punkt til et plan, hvis det vides, at punktet har koordinater (3; -1; 2), og planet er givet ved:

-y + 3z=0.

For at bruge den tilsvarende formel, skriver vi først koefficienterne forgivet fly. Da variablen x og det frie led er fraværende, er koefficienterne A og D lig med nul. Vi har:

A=0; B=-1; C=3; D=0, Det er nemt at vise, at dette plan passerer gennem origo, og at x-aksen hører til det.

Erstat koordinaterne for punktet og koefficienterne for planet i formlen for afstanden d, så får vi:

d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.

Bemærk, at hvis du ændrer x-koordinaten for et punkt, så ændres afstanden d ikke. Dette faktum betyder, at sættet af punkter (x; -1; 2) danner en ret linje parallel med det givne plan.