Et af de almindelige problemer i stereometri er opgaverne med at krydse lige linjer og planer og beregne vinklerne mellem dem. Lad os i denne artikel se nærmere på den såkaldte koordinatmetode og vinklerne mellem linjen og planet.
Linje og plan i geometri
Før du overvejer koordinatmetoden og vinklen mellem en linje og et plan, bør du stifte bekendtskab med de navngivne geometriske objekter.
En linje er en sådan samling af punkter i rummet eller på et plan, som hver kan opnås ved lineært at overføre den foregående til en bestemt vektor. I det følgende betegner vi denne vektor med symbolet u¯. Hvis denne vektor ganges med et hvilket som helst tal, der ikke er lig med nul, får vi en vektor parallel med u¯. En linje er et lineært uendeligt objekt.
Et plan er også en samling af punkter, der er placeret på en sådan måde, at hvis du laver vilkårlige vektorer ud fra dem, så vil de alle være vinkelrette på en eller anden vektor n¯. Sidstnævnte kaldes normal eller blot normal. Et plan er, i modsætning til en lige linje, et todimensionelt uendeligt objekt.
Koordinatmetode til løsning af geometriproblemer
Baseret på navnet på selve metoden kan vi konkludere, at vi taler om en metode til løsning af problemer, som er baseret på udførelsen af analytiske sekventielle beregninger. Med andre ord giver koordinatmetoden dig mulighed for at løse geometriske problemer ved hjælp af universelle algebraværktøjer, hvoraf de vigtigste er ligninger.
Det skal bemærkes, at den undersøgte metode dukkede op i begyndelsen af moderne geometri og algebra. Et stort bidrag til dens udvikling blev ydet af Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton og Leibniz i det 17.-18. århundrede.
Essensen af metoden er at beregne afstande, vinkler, arealer og rumfang af geometriske elementer baseret på koordinaterne for kendte punkter. Bemærk, at formen af de opnåede endelige ligninger afhænger af koordinatsystemet. Oftest bruges det rektangulære kartesiske system i problemer, da det er mest bekvemt at arbejde med.
Linjeligning
Overvejelse af koordinatmetoden og vinklerne mellem linjen og planet, lad os starte med at sætte linjens ligning. Der er flere måder at repræsentere linjer på i algebraisk form. Her betragter vi kun vektorligningen, da den let kan opnås fra den i enhver anden form og er nem at arbejde med.
Antag, at der er to punkter: P og Q. Det er kendt, at der kan trækkes en linje gennem dem, og detvil være den eneste. Den tilsvarende matematiske repræsentation af elementet ser således ud:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Hvor PQ¯ er en vektor, hvis koordinater opnås som følger:
PQ¯=Q - P.
Symbolet λ angiver en parameter, der kan tage absolut et hvilket som helst tal.
I det skrevne udtryk kan du ændre vektorens retning og også erstatte koordinaterne Q i stedet for punktet P. Alle disse transformationer vil ikke føre til en ændring i linjens geometriske placering.
Bemærk, at når man løser problemer, er det nogle gange nødvendigt at repræsentere den skrevne vektorligning i en eksplicit (parametrisk) form.
Indstilling af et fly i rummet
Udover for en ret linje er der også flere former for matematiske ligninger for en plan. Blandt dem bemærker vi vektoren, ligningen i segmenter og den generelle form. I denne artikel vil vi være særligt opmærksomme på den sidste formular.
En generel ligning for et vilkårligt plan kan skrives som følger:
Ax + By + Cz + D=0.
Latinske store bogstaver er visse tal, der definerer et plan.
Bekvemmeligheden ved denne notation er, at den eksplicit indeholder en vektor normal på planet. Det er lig med:
n¯=(A, B, C).
Kendskab til denne vektor gør det muligt, ved at se kort på flyets ligning, at forestille sig placeringen af sidstnævnte i koordinatsystemet.
Gensidig aftale indlinjerum og fly
I det næste afsnit af artiklen vil vi gå videre til overvejelserne om koordinatmetoden og vinklen mellem linjen og planet. Her vil vi besvare spørgsmålet om, hvordan de betragtede geometriske elementer kan placeres i rummet. Der er tre måder:
- Den lige linje skærer flyet. Ved hjælp af koordinatmetoden kan du beregne, i hvilket enkelt punkt linjen og planet skærer hinanden.
- Planet af en lige linje er parallelt. I dette tilfælde har systemet af ligninger af geometriske elementer ingen løsning. For at bevise parallelitet anvendes sædvanligvis egenskaben for skalarproduktet af retningsvektoren af den rette linje og normalen af planet.
- Flyet indeholder en linje. Ved at løse ligningssystemet i dette tilfælde vil vi komme til den konklusion, at for enhver værdi af parameteren λ opnås den korrekte lighed.
I andet og tredje tilfælde er vinklen mellem de angivne geometriske objekter lig med nul. I det første tilfælde ligger den mellem 0 og 90o.
Beregning af vinkler mellem linjer og planer
Lad os nu gå direkte til emnet for artiklen. Ethvert skæring mellem en linje og et plan sker i en vinkel. Denne vinkel dannes af selve den lige linje og dens projektion på planet. En projektion kan opnås, hvis en vinkelret sænkes ned på planet fra et hvilket som helst punkt på en ret linje, og derefter gennem det opnåede skæringspunkt mellem planet og vinkelret og skæringspunktet mellem planet og den oprindelige linje tegnes en lige linje, der vil være en projektion.
Beregning af vinklerne mellem linjer og planer er ikke en vanskelig opgave. For at løse det er det nok at kende ligningerne for de tilsvarende geometriske objekter. Lad os sige, at disse ligninger ser sådan ud:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Den ønskede vinkel er let at finde ved at bruge egenskaben for produktet af skalarvektorerne u¯ og n¯. Den endelige formel ser sådan ud:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Denne formel siger, at sinus af vinklen mellem en linje og en plan er lig med forholdet mellem modulet af skalarproduktet af de markerede vektorer og produktet af deres længder. For at forstå, hvorfor sinus optrådte i stedet for cosinus, lad os gå til nedenstående figur.
Det kan ses, at hvis vi anvender cosinusfunktionen, får vi vinklen mellem vektorerne u¯ og n¯. Den ønskede vinkel θ (α i figuren) opnås som følger:
θ=90o- β.
Sinus vises som et resultat af anvendelse af reduktionsformlerne.
Eksempelproblem
Lad os gå videre til den praktiske brug af den erhvervede viden. Lad os løse et typisk problem om vinklen mellem en ret linje og et plan. Følgende koordinater af fire punkter er givet:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Det er kendt, at gennem punkter PQMet fly passerer gennem det, og en lige linje passerer gennem MN. Ved hjælp af koordinatmetoden skal vinklen mellem planet og linjen beregnes.
Først, lad os nedskrive ligningerne for den rette linje og planet. For en lige linje er det nemt at komponere det:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
For at lave flyets ligning finder vi først normalen til det. Dens koordinater er lig med vektorproduktet af to vektorer, der ligger i det givne plan. Vi har:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Lad os nu erstatte koordinaterne for ethvert punkt, der ligger i det, i ligningen for det generelle plan for at få værdien af det frie led D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Planligningen er:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Det er tilbage at anvende formlen for vinklen dannet ved skæringspunktet mellem en ret linje og et plan for at få svaret på problemet. Vi har:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Ved at bruge dette problem som eksempel viste vi, hvordan man bruger koordinatmetoden til at løse geometriske problemer.
