Hvad er det her - en kegle? Definition, egenskaber, formler og et eksempel på løsning af opgaven

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-02 17:43

En kegle er en af de rumlige rotationsfigurer, hvis karakteristika og egenskaber studeres ved stereometri. I denne artikel vil vi definere denne figur og overveje de grundlæggende formler, der forbinder en kegles lineære parametre med dens overfladeareal og volumen.

Hvad er en kegle?

Fra et geometrisk synspunkt taler vi om en rumlig figur, som er dannet af et sæt lige segmenter, der forbinder et bestemt punkt i rummet med alle punkter i en glat flad kurve. Denne kurve kan være en cirkel eller en ellipse. Nedenstående figur viser en kegle.

Den præsenterede figur har ingen volumen, da væggene på dens overflade har en uendelig lille tykkelse. Men hvis den er fyldt med et stof og afgrænset fra oven ikke af en kurve, men af en flad figur, for eksempel en cirkel, så får vi et solidt volumetrisk legeme, som også almindeligvis kaldes en kegle.

Formen af en kegle kan ofte findes i livet. Så den har en isvaffel eller stribede sorte og orange trafikkegler, der sættes på vejbanen for at tiltrække trafikdeltagernes opmærksomhed.

Elementer af en kegle og dens typer

Da keglen ikke er et polyeder, er antallet af elementer, der danner den, ikke så stort som for polyeder. I geometri består en generel kegle af følgende elementer:

• base, hvis afgrænsningskurve kaldes dirigeren eller generatrice;
• af sidefladen, som er samlingen af alle punkter af lige linjesegmenter (generatricer), der forbinder toppunktet og punkter på guidekurven;
• vertex, som er skæringspunktet for generatricerne.

Bemærk, at toppunktet ikke må ligge i basens plan, da keglen i dette tilfælde degenererer til en flad figur.

Hvis vi tegner et vinkelret segment fra toppen til bunden, får vi figurens højde. Hvis den sidste base skærer i det geometriske centrum, er det en lige kegle. Hvis vinkelret ikke falder sammen med basens geometriske centrum, vil figuren være skrå.

Lige og skrå kegler er vist på figuren. Her er højden og radius af keglens basis betegnet med h og r, henholdsvis. Linjen, der forbinder toppen af figuren og basens geometriske centrum, er keglens akse. Det ses af figuren, at for en lige figur ligger højden på denne akse, og for en skrå figur danner højden en vinkel med aksen. Keglens akse er angivet med bogstavet a.

Lige kegle med rund bund

Måske er denne kegle den mest almindelige af den betragtede klasse af figurer. Den består af en cirkel og en sideoverflader. Det er ikke svært at opnå det ved geometriske metoder. For at gøre dette skal du tage en retvinklet trekant og rotere den omkring en akse, der falder sammen med et af benene. Det er klart, at dette ben bliver figurens højde, og længden af trekantens andet ben danner radius af keglens base. Diagrammet nedenfor viser det beskrevne skema til opnåelse af det pågældende rotationstal.

Den afbildede trekant kan drejes rundt om et andet ben, hvilket vil resultere i en kegle med en større basisradius og en lavere højde end den første.

For entydigt at bestemme alle parametre for en rund lige kegle, bør man kende to af dens lineære karakteristika. Blandt dem skelnes radius r, højden h eller længden af generatricen g. Alle disse størrelser er længderne af siderne af den betragtede retvinklede trekant, derfor er Pythagoras sætning gyldig for deres forbindelse:

g²=r²+ h^2.

Overfladeareal

Når man studerer overfladen af enhver tredimensionel figur, er det praktisk at bruge dens udvikling på et plan. Keglen er ingen undtagelse. For en rund kegle er udviklingen vist nedenfor.

Vi ser, at udfoldelsen af figuren består af to dele:

1. Den cirkel, der danner keglens bund.
2. Sektoren af cirklen, som er figurens koniske overflade.

Arealet af en cirkel er let at finde, og den tilsvarende formel er kendt af enhver elev. Når vi taler om den cirkulære sektor, bemærker vi, at deter en del af en cirkel med radius g (længden af keglens generatrix). Længden af buen af denne sektor er lig med omkredsen af basen. Disse parametre gør det muligt entydigt at bestemme dets område. Den tilsvarende formel er:

S=pir2+ pirg.

Det første og andet led i udtrykket er henholdsvis basens kegle og områdets sideflade.

Hvis længden af generatoren g er ukendt, men højden h af figuren er angivet, kan formlen omskrives som:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Figurens volumen

Hvis vi tager en lige pyramide og øger antallet af sider af dens base i det uendelige, så vil basens form tendere mod en cirkel, og pyramidens sideflade vil nærme sig den koniske overflade. Disse overvejelser giver os mulighed for at bruge formlen for volumen af en pyramide, når vi beregner en lignende værdi for en kegle. Volumen af en kegle kan findes ved hjælp af formlen:

V=1/3tS_o.

Denne formel er altid sand, uanset hvad keglens bund er, idet den har areal S_{o. Desuden gælder formlen også for den skrå kegle.}

Da vi studerer egenskaberne af en lige figur med en rund base, kan vi bruge følgende udtryk til at bestemme dens volumen:

V=1/3tpir2.

Formlen er indlysende.

Problemet med at finde overfladeareal og volumen

Lad en kegle gives, hvis radius er 10 cm, og længden af generatricen er 20se Behov for at bestemme volumen og overfladeareal for denne form.

For at beregne arealet S kan du straks bruge formlen skrevet ovenfor. Vi har:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

For at bestemme volumen skal du kende figurens højde h. Vi beregner det ved hjælp af forholdet mellem keglens lineære parametre. Vi får:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Nu kan du bruge formlen til V:

V=1/3tpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

Bemærk, at volumenet af en rund kegle er en tredjedel af den cylinder, den er indskrevet i.