Hver studerende har hørt om en rund kegle og forestiller sig, hvordan denne tredimensionelle figur ser ud. Denne artikel definerer udviklingen af en kegle, giver formler, der beskriver dens egenskaber, og beskriver, hvordan man konstruerer den ved hjælp af et kompas, vinkelmåler og lige.
Cirkulær kegle i geometri
Lad os give en geometrisk definition af denne figur. En rund kegle er en overflade, der er dannet af lige linjestykker, der forbinder alle punkter i en bestemt cirkel med et enkelt punkt i rummet. Dette enkelte punkt må ikke tilhøre det plan, hvori cirklen ligger. Hvis vi tager en cirkel i stedet for en cirkel, så fører denne metode også til en kegle.
Cirklen kaldes figurens basis, dens omkreds er retningslinjen. Segmenterne, der forbinder punktet med rettet, kaldes generatrices eller generatorer, og det punkt, hvor de skærer hinanden, er keglens toppunkt.
Rund kegle kan være lige og skrå. Begge tal er vist i figuren nedenfor.
Forskellen mellem dem er denne: hvis vinkelret fra toppen af keglen falder nøjagtigt til midten af cirklen, så vil keglen være lige. For ham er den vinkelrette, som kaldes figurens højde, en del af hans akse. I tilfælde af en skrå kegle danner højden og aksen en spids vinkel.
På grund af figurens enkelthed og symmetri vil vi yderligere overveje egenskaberne af kun en højre kegle med en rund base.
Få en form ved hjælp af rotation
Før man fortsætter med at overveje udviklingen af overfladen af en kegle, er det nyttigt at vide, hvordan denne rumlige figur kan opnås ved hjælp af rotation.
Antag, at vi har en retvinklet trekant med siderne a, b, c. De to første af dem er ben, c er hypotenusen. Lad os sætte en trekant på ben a og begynde at dreje den rundt om ben b. Hypotenusen c vil så beskrive en konisk overflade. Denne enkle kegleteknik er vist i diagrammet nedenfor.
Naturligvis vil ben a være radius af figurens basis, ben b vil være dens højde, og hypotenusen c svarer til generatrixen af en rund højre kegle.
Udsigt over udviklingen af keglen
Som du måske kan gætte, er keglen dannet af to typer overflader. En af dem er en flad grundcirkel. Antag, at den har radius r. Den anden overflade er lateral og kaldes konisk. Lad dens generator være lig med g.
Hvis vi har en papirkegle, så kan vi tage en saks og klippe bunden af den. Derefter skal den koniske overflade skæreslangs en hvilken som helst generatrix og anbring den på flyet. På denne måde opnåede vi en udvikling af keglens sideflade. De to overflader, sammen med den originale kegle, er vist i diagrammet nedenfor.
Basiscirklen er afbildet nederst til højre. Den udfoldede koniske overflade er vist i midten. Det viser sig, at det svarer til en eller anden cirkulær sektor af cirklen, hvis radius er lig med længden af generatricen g.
Vinkel- og områdesweep
Nu får vi formler, der ved hjælp af de kendte parametre g og r giver os mulighed for at beregne arealet og vinklen af keglen.
Det er klart, at buen af den cirkulære sektor vist ovenfor på figuren har en længde svarende til omkredsen af basen, dvs.:
l=2pir.
Hvis hele cirklen med radius g blev bygget, ville dens længde være:
L=2pig.
Da længden L svarer til 2pi radianer, kan vinklen, som buen l hviler på, bestemmes ud fra det tilsvarende forhold:
L==>2pi;
l==> φ.
Så vil den ukendte vinkel φ være lig med:
φ=2pil/L.
Ved at erstatte udtrykkene for længderne l og L, kommer vi frem til formlen for udviklingsvinklen for keglens sideflade:
φ=2pir/g.
Vinklen φ her er udtrykt i radianer.
For at bestemme arealet Sb af en cirkulær sektor, vil vi bruge den fundne værdi af φ. Vi laver en andel mere, kun for områderne. Vi har:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Hvorfra skal du udtrykke Sb, og derefter erstatte værdien af vinklen φ. Vi får:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
For området med en konisk overflade har vi opnået en forholdsvis kompakt formel. Værdien af Sb er lig med produktet af tre faktorer: pi, figurens radius og dens generatrix.
Så vil arealet af hele overfladen af figuren være lig med summen af Sb og So (cirkulært basisareal). Vi får formlen:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Bygger en fejning af en kegle på papir
For at fuldføre denne opgave skal du bruge et stykke papir, en blyant, en vinkelmåler, en lineal og et kompas.
Lad os først og fremmest tegne en retvinklet trekant med siderne 3 cm, 4 cm og 5 cm. Dens rotation omkring benet på 3 cm vil give den ønskede kegle. Figuren har r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Opbygning af et sweep starter med at tegne en cirkel med radius r med et kompas. Dens længde vil være lig med 6pi cm. Nu ved siden af vil vi tegne en anden cirkel, men med en radius g. Dens længde svarer til 10pi cm. Nu skal vi afskære en cirkulær sektor fra en stor cirkel. Dens vinkel φ er:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Nu sætter vi denne vinkel til side med en vinkelmåler på en cirkel med radius g og tegner to radier, der vil begrænse den cirkulære sektor.
SåSåledes har vi bygget en udvikling af keglen med de specificerede parametre for radius, højde og generatrix.
Et eksempel på løsning af et geometrisk problem
Givet en rund lige kegle. Det er kendt, at vinklen på dets laterale sweep er 120o. Det er nødvendigt at finde radius og generatrix for denne figur, hvis det vides, at keglens højde h er 10 cm.
Opgaven er ikke svær, hvis vi husker, at en rund kegle er en rotationsfigur af en retvinklet trekant. Fra denne trekant følger et entydigt forhold mellem højde, radius og generatrix. Lad os skrive den tilsvarende formel:
g2=h2+ r2.
Det andet udtryk, der skal bruges ved løsning, er formlen for vinklen φ:
φ=2pir/g.
Vi har således to ligninger, der relaterer to ukendte størrelser (r og g).
Udtryk g fra den anden formel og indsæt resultatet i den første, vi får:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Angle φ=120o i radianer er 2pi/3. Vi erstatter denne værdi, vi får de endelige formler for r og g:
r=h /√8;
g=3t /√8.
Det er tilbage at erstatte højdeværdien og få svaret på problemspørgsmålet: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
