Lateral overflade af en regelmæssig og afkortet kegle. Formler og et eksempel på løsning af problemet

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 05:21

Når man betragter figurer i rummet, opstår der ofte problemer med at bestemme deres overfladeareal. En sådan figur er keglen. Overvej i artiklen, hvad sidefladen er på en kegle med en rund base, samt en keglestub.

kegle med rund bund

Før vi går videre til overvejelsen af keglens laterale overflade, vil vi vise, hvilken slags figur det er, og hvordan man opnår den ved hjælp af geometriske metoder.

Tag en retvinklet trekant ABC, hvor AB og AC er ben. Lad os sætte denne trekant på ben AC og dreje den rundt om ben AB. Som et resultat heraf beskriver siderne AC og BC to overflader på figuren vist nedenfor.

Figuren opnået ved rotation kaldes en rund lige kegle. Den er rund, fordi dens base er en cirkel, og lige, fordi en vinkelret tegnet fra toppen af figuren (punkt B) skærer cirklen i midten. Længden af denne vinkelrette kaldes højden. Det er åbenbart lig med ben AB. Højden er norm alt angivet med bogstavet h.

Udover højden er den betragtede kegle beskrevet af yderligere to lineære karakteristika:

• generering, eller generatrix (hypotenuse BC);
• basisradius (ben AC).

Radien vil blive angivet med bogstavet r, og generatoratrixen med g. Derefter, under hensyntagen til Pythagoras sætning, kan vi nedskrive den lighed, der er vigtig for den betragtede figur:

g²=h²+ r²

Konisk overflade

Samletheden af alle generatrices danner en konisk eller lateral overflade af en kegle. Udseendeligt er det svært at sige, hvilken flad figur det svarer til. Sidstnævnte er vigtigt at vide, når man bestemmer arealet af en konisk overflade. For at løse dette problem anvendes sweep-metoden. Den består af følgende: en overflade skæres ment alt langs en vilkårlig generatrix, og derefter foldes den ud på et plan. Med denne metode til at opnå et sweep dannes følgende flade figur.

Som du måske kan gætte, svarer cirklen til basen, men den cirkulære sektor er en konisk overflade, hvis areal vi er interesserede i. Sektoren er afgrænset af to generatricer og en bue. Længden af sidstnævnte er nøjagtigt lig med omkredsen (længden) af basens omkreds. Disse egenskaber bestemmer entydigt alle egenskaber i den cirkulære sektor. Vi giver ikke mellemliggende matematiske beregninger, men skriver straks den endelige formel ned, ved hjælp af hvilken du kan beregne arealet af keglens sideflade. Formlen er:

S_b=pigr

Arealet af en konisk overflade S_ber lig med produktet af to parametre og Pi.

Trunkeret kegle og dens overflade

Hvis vi tager en almindelig kegle og skærer dens top af med et parallelt plan, vil den resterende figur være en keglestub. Dens laterale overflade er begrænset af to runde baser. Lad os betegne deres radier som R og r. Vi angiver højden af figuren med h, og generatricen med g. Nedenfor er et papirudskæring til denne figur.

Det kan ses, at sidefladen ikke længere er en cirkulær sektor, den er mindre i areal, da den centrale del blev afskåret fra den. Udviklingen er begrænset til fire linjer, to af dem er lige linjesegmenter-generatorer, de to andre er buer med længden af de tilsvarende cirkler af baserne af den afkortede kegle.

Sideoverflade S_b beregnes som følger:

S_b=pig(r + R)

Generatrix, radier og højde er forbundet med følgende lighed:

g²=h²+ (R - r)²

Problemet med ligheden mellem figurområderne

Udgivet en kegle med en højde på 20 cm og en basisradius på 8 cm. Det er nødvendigt at finde højden af en keglestub, hvis sideflade vil have samme areal som denne kegle. Den afkortede figur er bygget på samme base, og radius af den øverste base er 3 cm.

Først og fremmest, lad os nedskrive betingelsen for lighed af keglens områder og den afkortede figur. Vi har:

S_b1=S_b2=>

pig₁R=pig₂(r + R)

Lad os nu skrive udtrykkene for generatricerne for hver form:

g₁=√(R²+ h₁²);

g₂=√((R-r)² + h₂ ²)

Erstat g₁ og g₂ i formlen for lige store arealer og firkantet venstre og højre side, så får vi:

R²(R²+ h₁²)=((R-r)²+ h₂²)(r) + R)²

Hvor får vi udtrykket for h₂:

h₂=√(R²(R²+ h 12^{)/(r + R)}2^{- (R - r)}2 ⁾

Vi vil ikke forenkle denne lighed, men blot erstatte de data, der kendes fra betingelsen:

h₂=√(8²(8²+ 202^{)/(3 + 8)}2^{- (8 - 3)}2^{) ≈ 14,85 cm}

For at være lig med arealerne af figurernes sideflader skal den afkortede kegle have parametrene: R=8 cm, r=3 cm, h₂≈ 14, 85 cm.