En af de figurer, der opstår, når man løser geometriske problemer i rummet, er en kegle. Det, i modsætning til polyedre, tilhører klassen af rotationsfigurer. Lad os overveje i artiklen, hvad der menes med det i geometri, og udforske egenskaberne ved forskellige sektioner af keglen.
kegle i geometri
Antag, at der er en eller anden kurve på flyet. Det kan være en parabel, en cirkel, en ellipse og så videre. Tag et punkt, der ikke hører til det angivne plan, og forbind alle punkter i kurven til det. Den resulterende overflade kaldes en kegle eller blot en kegle.
Hvis den oprindelige kurve er lukket, kan den koniske overflade fyldes med stof. Figuren opnået på denne måde er en tredimensionel krop. Det kaldes også en kegle. Flere papirkegler er vist nedenfor.
Den koniske overflade findes i hverdagen. For eksempel har en isvaffel eller en stribet trafikkugle denne form, som er designet til at tiltrække bilisters ogfodgængere.
Typer af kegler
Som du måske kan gætte, adskiller de betragtede figurer sig fra hinanden afhængigt af den type kurve, de er dannet på. For eksempel er der en rund kegle eller en elliptisk. Denne kurve kaldes bunden af figuren. Formen på basen er dog ikke den eneste funktion, der tillader klassificering af kegler.
Den anden vigtige egenskab er højdens placering i forhold til basen. Højden af en kegle er et lige linjesegment, som sænkes fra toppen af figuren til bundens plan og er vinkelret på dette plan. Hvis højden skærer basen i det geometriske centrum (for eksempel i midten af cirklen), så vil keglen være lige, hvis det vinkelrette segment falder til et hvilket som helst andet punkt på basen eller ud over det, vil figuren være skrå.
Længere i artiklen vil vi kun betragte en rund lige kegle som en lysende repræsentant for den betragtede klasse af figurer.
Geometriske navne på kegleelementer
Det blev sagt ovenfor, at keglen har en base. Den er afgrænset af en cirkel, som kaldes keglens guide. De segmenter, der forbinder guiden til et punkt, der ikke ligger i basens plan, kaldes generatorer. Sættet af alle punkter på generatorerne kaldes den koniske eller laterale overflade af figuren. For en rund højre kegle har alle generatorer den samme længde.
Punkten, hvor generatorerne skærer hinanden, kaldes toppen af figuren. I modsætning til polyedre har en kegle et enkelt toppunkt og nrkant.
En lige linje, der går gennem toppen af figuren og midten af cirklen, kaldes aksen. Aksen indeholder højden af en lige kegle, så den danner en ret vinkel med bundens plan. Disse oplysninger er vigtige ved beregning af arealet af keglens aksiale sektion.
Rund lige kegle - rotationsfigur
Den betragtede kegle er en ret symmetrisk figur, som kan opnås som et resultat af trekantens rotation. Antag, at vi har en trekant med en ret vinkel. For at få en kegle er det nok at dreje denne trekant rundt om et af benene som vist på figuren nedenfor.
Det kan ses, at rotationsaksen er keglens akse. Et af benene vil være lig med figurens højde, og det andet ben bliver basens radius. Hypotenusen af en trekant som et resultat af rotation vil beskrive en konisk overflade. Det vil være keglens generatrix.
Denne metode til at opnå en rund lige kegle er praktisk at bruge til at studere det matematiske forhold mellem figurens lineære parametre: højden h, radius af den runde base r og guiden g. Den tilsvarende formel følger af egenskaberne for en retvinklet trekant. Det er angivet nedenfor:
g2=h2+ r2.
Da vi har én ligning og tre variable, betyder det, at for at indstille parametrene for en rund kegle unikt, skal du kende to størrelser.
Udsnit af en kegle ved et plan, der ikke indeholder toppen af figuren
Spørgsmålet om at konstruere sektioner af en figur er det ikketrivielt. Faktum er, at formen af sektionen af keglen ved overfladen afhænger af figurens relative position og sekanten.
Antag, at vi skærer keglen med et fly. Hvad bliver resultatet af denne geometriske operation? Valgmuligheder for sektionsform er vist i figuren nedenfor.
Den lyserøde sektion er en cirkel. Det er dannet som et resultat af figurens skæring med et plan, der er parallelt med keglens bund. Disse er snit vinkelret på figurens akse. Figuren dannet over skæreplanet er en kegle, der ligner den oprindelige, men med en mindre cirkel i bunden.
Det grønne afsnit er en ellipse. Det opnås, hvis skæreplanet ikke er parallelt med bunden, men det kun skærer keglens sideflade. En figur afskåret over flyet kaldes en elliptisk skrå kegle.
De blå og orange sektioner er henholdsvis parabolske og hyperbolske. Som du kan se på figuren, opnås de, hvis skæreplanet samtidig skærer sidefladen og figurens bund.
For at bestemme områderne af sektionerne af keglen, der blev overvejet, er det nødvendigt at bruge formlerne for den tilsvarende figur på planet. For en cirkel er dette f.eks. tallet Pi ganget med kvadratet af radius, og for en ellipse er dette produktet af Pi og længden af den lille og store halvakse:
cirkel: S=pir2;
ellipse: S=piab.
Sektioner, der indeholder toppen af keglen
Overvej nu mulighederne for sektioner, der opstår, hvis skæreplanet erpassere gennem toppen af keglen. Tre tilfælde er mulige:
- Afsnittet er et enkelt punkt. For eksempel giver et plan, der går gennem toppunktet og parallelt med basen, netop et sådant snit.
- Afsnittet er en lige linje. Denne situation opstår, når planet tangerer en konisk overflade. Sektionens lige linje vil i dette tilfælde være keglens generatrix.
- Aksial sektion. Det dannes, når flyet ikke kun indeholder toppen af figuren, men også hele dens akse. I dette tilfælde vil planet være vinkelret på den runde base og vil dele keglen i to lige store dele.
Arealerne af de to første typer sektioner er naturligvis lig nul. Hvad angår tværsnitsarealet af keglen for den 3. type, diskuteres dette spørgsmål mere detaljeret i næste afsnit.
aksial sektion
Det blev bemærket ovenfor, at den aksiale sektion af en kegle er den figur, der dannes, når keglen skæres af et plan, der går gennem dens akse. Det er let at gætte, at dette afsnit vil repræsentere figuren vist i figuren nedenfor.
Dette er en ligebenet trekant. Toppunktet af den aksiale sektion af keglen er toppunktet for denne trekant, dannet af skæringspunktet mellem identiske sider. Sidstnævnte er lig med længden af keglens generatrix. Trekantens basis er diameteren af keglens bund.
Beregning af arealet af den aksiale sektion af en kegle reduceres til at finde arealet af den resulterende trekant. Hvis radius af basen r og højden h af keglen er kendt til at begynde med, vil arealet S af det betragtede afsnit være:
S=hr.
Detteudtrykket er en konsekvens af at anvende standardformlen for arealet af en trekant (det halve produkt af højden gange grundfladen).
Bemærk, at hvis generatrixen af en kegle er lig med diameteren af dens runde base, så er den aksiale sektion af keglen en ligesidet trekant.
En trekantet sektion dannes, når skæreplanet er vinkelret på keglens bund og passerer gennem dens akse. Ethvert andet plan parallelt med det navngivne vil give en hyperbel i snit. Men hvis flyet indeholder keglens toppunkt og skærer dens basis ikke gennem diameteren, vil den resulterende sektion også være en ligebenet trekant.
Problemet med at bestemme de lineære parametre for keglen
Lad os vise, hvordan man bruger formlen skrevet for arealet af det aksiale snit til at løse et geometrisk problem.
Det er kendt, at arealet af keglens aksiale sektion er 100 cm2. Den resulterende trekant er ligesidet. Hvad er højden af keglen og radius af dens base?
Da trekanten er ligesidet, er dens højde h relateret til længden af side a som følger:
h=√3/2a.
I betragtning af, at trekantens side er to gange radius af keglens basis, og erstatter dette udtryk med formlen for tværsnitsarealet, får vi:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Så er højden af keglen:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Det er tilbage at erstatte værdien af området med problemets tilstandog få svaret:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
I hvilke områder er det vigtigt at kende parametrene for de betragtede sektioner?
Undersøgelsen af forskellige typer keglesektioner er ikke kun af teoretisk interesse, men har også praktiske anvendelser.
Først skal det bemærkes området for aerodynamik, hvor det ved hjælp af keglesnit er muligt at skabe ideelle glatte former af faste kroppe.
For det andet er keglesnit baner, langs hvilke rumobjekter bevæger sig i gravitationsfelter. Hvilken specifik type sektion, der repræsenterer banen for bevægelsen af systemets kosmiske legemer, bestemmes af forholdet mellem deres masser, absolutte hastigheder og afstande mellem dem.
