Afledning af formlen for arealet af en kegle. Eksempel på problemløsning

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 05:21

Undersøgelsen af rumlige figurers egenskaber spiller en vigtig rolle i løsningen af praktiske problemer. Videnskaben, der beskæftiger sig med figurer i rummet, kaldes stereometri. I denne artikel vil vi ud fra et solidt geometris synspunkt overveje en kegle og vise, hvordan man finder arealet af en kegle.

kegle med rund bund

I det generelle tilfælde er en kegle en overflade bygget på en plan kurve, hvor alle punkter er forbundet med segmenter med et punkt i rummet. Sidstnævnte kaldes keglens toppunkt.

Fra ovenstående definition er det klart, at en kurve kan have en vilkårlig form, såsom parabolsk, hyperbolsk, elliptisk og så videre. Ikke desto mindre er det i praksis og i problemer i geometri ofte en rund kegle, man ofte støder på. Det er vist på billedet nedenfor.

Her angiver symbolet r radius af cirklen placeret i bunden af figuren, h er vinkelret på cirklens plan, som er tegnet fra toppen af figuren. Det kaldes højde. Værdien s er keglens generatrix eller dens generatrix.

Det kan ses, at segmenterne r, h og sdanner en retvinklet trekant. Hvis den drejes rundt om benet h, så vil hypotenusen s beskrive den koniske overflade, og benet r danner figurens runde base. Af denne grund betragtes keglen som en revolutionsfigur. De tre navngivne lineære parametre er forbundet med ligheden:

s²=r²+ h²

Bemærk, at den givne lighed kun er gyldig for en rund lige kegle. En lige figur er kun, hvis dens højde falder nøjagtigt i midten af grundcirklen. Hvis denne betingelse ikke er opfyldt, kaldes figuren skrå. Forskellen mellem lige og skrå kegler er vist i figuren nedenfor.

Formudvikling

At studere overfladearealet af en kegle er praktisk at udføre i betragtning af det på et fly. Denne måde at repræsentere overfladen af figurer i rummet kaldes deres udvikling. For en kegle kan denne udvikling opnås som følger: du skal tage en figur lavet, for eksempel af papir. Klip derefter med en saks den runde bund rundt om omkredsen. Derefter laver du et snit af den koniske overflade langs generatricen og gør den til et plan. Resultatet af disse simple operationer vil være udviklingen af keglen, vist i figuren nedenfor.

Som du kan se, kan overfladen af en kegle faktisk være repræsenteret på et plan. Den består af følgende to dele:

• cirkel med radius r, der repræsenterer bunden af figuren;
• cirkulær sektor med radius g, som er en konisk overflade.

Formlen for arealet af en kegle involverer at finde områderne af begge udfoldede overflader.

Beregn overfladearealet af en figur

Lad os dele opgaven op i to faser. Først finder vi arealet af keglens bund, derefter arealet af den koniske overflade.

Den første del af problemet er let at løse. Da radius r er givet, er det nok at huske det tilsvarende udtryk for arealet af en cirkel for at beregne arealet af basen. Lad os skrive det ned:

S_o=pi × r²

Hvis radius ikke er kendt, så skal du først finde den ved hjælp af relationsformlen mellem den, højden og generatoren.

Den anden del af problemet med at finde arealet af en kegle er noget mere kompliceret. Bemærk, at den cirkulære sektor er bygget på radius g af generatricen og er afgrænset af en bue, hvis længde er lig med cirklens omkreds. Denne kendsgerning giver dig mulighed for at nedskrive proportionen og finde vinklen på den betragtede sektor. Lad os betegne det med det græske bogstav φ. Denne vinkel vil være lig med:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Når du kender den centrale vinkel φ af en cirkulær sektor, kan du bruge den passende proportion til at finde dens areal. Lad os betegne det med symbolet S_b. Det vil være lig med:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

Det vil sige, at arealet af den koniske overflade svarer til produktet af generatricen g, radius af basen r og tallet Pi.

Ved hvad områderne for beggebetragtet som overflader, kan vi skrive den endelige formel for arealet af en kegle:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

Det skrevne udtryk forudsætter kendskab til to lineære parametre for keglen for at beregne S. Hvis g eller r er ukendt, så kan de findes gennem højden h.

Problemet med at beregne arealet af en kegle

Det er kendt, at højden af en rund lige kegle er lig med dens diameter. Det er nødvendigt at beregne arealet af figuren, vel vidende at arealet af bits base er 50 cm².

Når du kender arealet af en cirkel, kan du finde figurens radius. Vi har:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Lad os nu finde generatoren g i form af h og r. Ifølge betingelsen er højden h på figuren lig med to radier r, så:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

De fundne formler for g og r skal erstattes med udtrykket for hele keglens areal. Vi får:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

I det resulterende udtryk erstatter vi arealet af grundfladen S_o og skriver svaret ned: S ≈ 161,8 cm².