Formel til bestemmelse af volumen af en kegle. Eksempel på problemløsning

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 05:21

Hver elev i studiet af stereometri i gymnasiet stødte på en kegle. To vigtige egenskaber ved denne rumlige figur er overfladeareal og volumen. I denne artikel vil vi vise, hvordan man finder volumen af en rund kegle.

Rund kegle som en rotationsfigur af en retvinklet trekant

Før du går direkte til artiklens emne, er det nødvendigt at beskrive keglen fra et geometrisk synspunkt.

Lad der være en retvinklet trekant. Hvis du drejer den rundt om et af benene, vil resultatet af denne handling være den ønskede figur, vist i figuren nedenfor.

Her er ben AB en del af keglens akse, og dets længde svarer til figurens højde. Det andet ben (segment CA) vil være radius af keglen. Under rotation vil den beskrive en cirkel, der afgrænser figurens base. Hypotenusen BC kaldes figurens generatrix eller dens generatrix. Punkt B er keglens eneste toppunkt.

I betragtning af egenskaberne for trekanten ABC kan vi skrive sammenhængen mellem generatricen g, radius r og højden h som følgerligestilling:

g²=h²+ r²

Denne formel er nyttig til at løse mange geometriske problemer med den pågældende figur.

Keglevolumenformel

Rumfanget af enhver rumlig figur er arealet af rummet, som er begrænset af overfladerne af denne figur. Der er to sådanne overflader til en kegle:

1. Lateral eller konisk. Det er dannet af alle generatrices.
2. Foundation. I dette tilfælde er det en cirkel.

Hent formlen til at bestemme volumenet af en kegle. For at gøre dette skærer vi det ment alt i mange lag parallelt med basen. Hvert af lagene har en tykkelse dx, som har en tendens til nul. Arealet S_x af laget i en afstand x fra toppen af figuren er lig med følgende udtryk:

S_x=pir²x²/h ²

Gyldigheden af dette udtryk kan verificeres intuitivt ved at erstatte værdierne x=0 og x=h. I det første tilfælde vil vi få et areal lig med nul, i det andet tilfælde vil det være lig med arealet af den runde base.

For at bestemme volumen af keglen skal du tilføje små "volumener" af hvert lag, det vil sige, du skal bruge integralregningen:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Når vi beregner dette integral, når vi frem til den endelige formel for en rund kegle:

V=1/3pir²h

Det er interessant at bemærke, at denne formel er fuldstændig magen til den, der bruges til at beregne rumfanget af en vilkårlig pyramide. Denne tilfældighed er ikke tilfældig, for enhver pyramide bliver til en kegle, når antallet af dens kanter stiger til det uendelige.

Problem med volumenberegning

Det er nyttigt at give et eksempel på løsning af problemet, som vil demonstrere brugen af den afledte formel for bindet V.

Givet en rund kegle, hvis grundareal er 37 cm², og figurens generator er tre gange radius. Hvad er keglens volumen?

Vi har ret til at bruge volumenformlen, hvis vi kender to størrelser: højden h og radius r. Lad os finde formlerne, der bestemmer dem i overensstemmelse med problemets tilstand.

Radius r kan beregnes ved at kende arealet af cirklen S_o, vi har:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Ved at bruge problemets tilstand skriver vi ligheden for generatoren g:

g=3r=3√(S_o/pi)

Kend formlerne for r og g, beregn højden h:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Vi fandt alle de nødvendige parametre. Nu er det tid til at tilslutte dem til formlen for V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Det er tilbage at erstattebasisareal S_o og beregn volumenværdien: V=119,75 cm³.