Tiltet prisme og dets volumen. Eksempel på problemløsning

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 05:21

Evnen til at bestemme volumen af rumlige figurer er vigtig for at løse geometriske og praktiske problemer. En af disse figurer er et prisme. Vi vil i artiklen overveje, hvad det er, og vise, hvordan man beregner volumen af et skrå prisme.

Hvad menes med et prisme i geometri?

Dette er et regulært polyeder (polyhedron), som er dannet af to identiske baser placeret i parallelle planer, og flere parallelogrammer, der forbinder de markerede baser.

Prismebaser kan være vilkårlige polygoner, såsom trekant, firkant, sekskant og så videre. Desuden bestemmer antallet af hjørner (sider) af polygonen navnet på figuren.

Enhver prisme med en n-gon base (n er antallet af sider) består af n+2 flader, 2 × n hjørner og 3 × n kanter. Ud fra de givne tal kan det ses, at antallet af grundstoffer i prismet svarer til Eulers sætning:

3 × n=2 × n + n + 2 - 2

Billedet nedenfor viser, hvordan trekantede og firkantede prismer lavet af glas ser ud.

Typer af figurer. Vippet prisme

Det er allerede blevet sagt ovenfor, at navnet på et prisme er bestemt af antallet af sider af polygonen ved bunden. Der er dog andre funktioner i dens struktur, der bestemmer figurens egenskaber. Så hvis alle parallelogrammerne, der danner prismets laterale overflade, er repræsenteret af rektangler eller firkanter, kaldes en sådan figur en lige linje. For et lige prisme er afstanden mellem baserne lig med længden af sidekanten af ethvert rektangel.

Hvis nogle eller alle siderne er parallellogrammer, så taler vi om et skrå prisme. Dens højde vil allerede være mindre end længden af sideribben.

Et andet kriterium, som de betragtede figurer klassificeres efter, er længderne af siderne og vinklerne af polygonen ved bunden. Hvis de er ens med hinanden, vil polygonen være korrekt. En lige figur med en regulær polygon ved baserne kaldes regulær. Det er praktisk at arbejde med det, når man skal bestemme overfladearealet og volumen. Et skrå prisme i denne henseende giver nogle vanskeligheder.

Figuren nedenfor viser to prismer med en kvadratisk base. Vinklen på 90° viser den grundlæggende forskel mellem et lige og et skråt prisme.

Formel til at bestemme volumen af en figur

En del af rummet afgrænset af flader af et prisme kaldes dets volumen. For de betragtede tal af enhver type kan denne værdi bestemmes af følgende formel:

V=h × S_o

Her angiver symbolet prismets højde,som er et mål for afstanden mellem to baser. Symbol S_o- en grund firkant.

Basisområdet er nemt at finde. I betragtning af det faktum, om polygonen er regulær eller ej, og ved at kende antallet af dens sider, bør du anvende den passende formel og få S_o. For f.eks. en regulær n-gon med sidelængde a, vil området være:

S=n / 4 × a^{2 ×} ctg (pi / n)

Lad os nu gå videre til højden h. For et lige prisme er det ikke svært at bestemme højden, men for et skrå prisme er dette ikke en let opgave. Det kan løses ved forskellige geometriske metoder, startende fra specifikke begyndelsesbetingelser. Der er dog en universel måde at bestemme højden af en figur på. Lad os beskrive det kort.

Idéen er at finde afstanden fra et punkt i rummet til et fly. Antag, at planet er givet ved ligningen:

A × x+ B × y + C × z + D=0

Så vil flyet være på afstand:

h=|A × x₁ + B × y₁+ C × z₁ +D| / √ (A² + B²+ C²)

Hvis koordinatakserne er arrangeret således, at punktet (0; 0; 0) ligger i planet for prismets nederste basis, så kan ligningen for grundplanet skrives som følger:

z=0

Dette betyder, at formlen for højden bliver skrevetså:

h=z₁

Det er nok at finde z-koordinaten for ethvert punkt på den øverste base for at bestemme højden af figuren.

Eksempel på problemløsning

Figuren nedenfor viser et firkantet prisme. Basen af et skrå prisme er en firkant med en side på 10 cm. Det er nødvendigt at beregne dets volumen, hvis det er kendt, at længden af sidekanten er 15 cm, og den spidse vinkel på frontalparallellogrammet er 70 °.

Da højden h af figuren også er højden af parallelogrammet, bruger vi formler til at bestemme dens areal for at finde h. Lad os betegne siderne af parallelogrammet som følger:

a=10 cm;

b=15 cm

Så kan du skrive følgende formler for det for at bestemme arealet S_p:

S_p=a × b × sin (α);

S_p=a × h

Hvorfra vi kommer:

h=b × sin (α)

Her er α en spids vinkel på parallelogrammet. Da basen er en firkant, vil formlen for rumfanget af et skrå prisme have formen:

V=a² × b × sin (α)

Vi erstatter dataene fra betingelsen i formlen og får svaret: V ≈ 1410 cm³.