Cylinder: sideoverfladeareal. Formlen for arealet af den laterale overflade af en cylinder

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-02 17:43

Når du studerer stereometri, er et af hovedemnerne "Cylinder". Det laterale overfladeareal betragtes, hvis ikke det vigtigste, så en vigtig formel til løsning af geometriske problemer. Det er dog vigtigt at huske definitioner, der vil hjælpe dig med at navigere gennem eksempler, og når du skal bevise forskellige teoremer.

Cylinderkoncept

Først skal vi overveje et par definitioner. Først efter at have studeret dem kan man begynde at overveje spørgsmålet om formlen for arealet af den laterale overflade af en cylinder. Baseret på denne post kan andre udtryk beregnes.

• En cylindrisk overflade forstås som et plan beskrevet af en generatrice, der bevæger sig og forbliver parallelt med en given retning og glider langs en eksisterende kurve.
• Der er også en anden definition: en cylindrisk overflade er dannet af et sæt parallelle linjer, der skærer en given kurve.
• Generativ kaldes konventionelt cylinderens højde. Når den bevæger sig rundt om en akse, der går gennem midten af basen,det angivne geometriske legeme opnås.
• Under aksen menes en ret linje, der går gennem begge grundflader af figuren.
• En cylinder er et stereometrisk legeme afgrænset af en skærende sideflade og 2 parallelle planer.

Der er varianter af denne tredimensionelle figur:

1. Cirkulær er en cylinder, hvis guide er en cirkel. Dens hovedkomponenter er radius af basen og generatricen. Sidstnævnte er lig med figurens højde.
2. Der er en lige cylinder. Den har fået sit navn på grund af generatricens vinkelrethed på figurens baser.
3. Den tredje slags er en affaset cylinder. I lærebøger kan du også finde et andet navn for det - "cirkulær cylinder med en skrå bund." Denne figur definerer basens radius, minimums- og maksimumshøjden.
4. En ligesidet cylinder forstås som et legeme med samme højde og diameter som et cirkulært plan.

Symboler

Traditionelt kaldes de vigtigste "komponenter" i en cylinder som følger:

• Radien af basen er R (den erstatter også den samme værdi af en stereometrisk figur).
• Generativ – L.
• Højde – H.
• Basisareal - S_{base (med andre ord, du skal finde den angivne cirkelparameter).}
• Affasede cylinderhøjder – h₁, h_{2 (minimum og maksimum).}
• Sideoverfladeareal - S_{side (hvis du udvider det, får duen slags rektangel).}
• Lydstyrken af en stereometrisk figur - V.
• Samlet overfladeareal – S.

“Komponenter” af en stereometrisk figur

Når man studerer en cylinder, spiller det laterale overfladeareal en vigtig rolle. Dette skyldes det faktum, at denne formel er inkluderet i flere andre, mere komplekse. Derfor er det nødvendigt at være velbevandret i teorien.

De vigtigste komponenter i figuren er:

1. Sideoverflade. Som du ved, opnås det på grund af generatricens bevægelse langs en given kurve.
2. Fuld overflade inkluderer eksisterende baser og sideplan.
3. Snittet af en cylinder er som regel et rektangel placeret parallelt med figurens akse. Ellers kaldes det et fly. Det viser sig, at længden og bredden er deltidskomponenter af andre figurer. Så betinget er længderne af sektionen generatorer. Bredde - parallelle akkorder af en stereometrisk figur.
4. Aksial sektion betyder placeringen af flyet gennem midten af kroppen.
5. Og endelig den endelige definition. En tangent er et plan, der går gennem cylinderens generatrix og vinkelret på det aksiale snit. I dette tilfælde skal én betingelse være opfyldt. Den specificerede generatrice skal inkluderes i aksialsnittets plan.

Grundlæggende formler for at arbejde med en cylinder

For at besvare spørgsmålet om, hvordan man finder overfladearealet af en cylinder, er det nødvendigt at studere de vigtigste "komponenter" af en stereometrisk figur og formlerne til at finde dem.

Disse formler adskiller sig ved, at først udtrykkene for den skrå cylinder gives, og derefter for den lige.

Dekonstruerede eksempler

Opgave 1.

Det er nødvendigt at kende arealet af cylinderens sideflade. Diagonalen af sektionen AC=8 cm er givet (den er desuden aksial). Når den er i kontakt med generatricen, viser det sig _<ACD=30°

Beslutning. Da værdierne af diagonalen og vinklen er kendt, så i dette tilfælde:

CD=ACcos 30°

Kommentar. Trekant ACD, i dette særlige eksempel, er en retvinklet trekant. Det betyder, at kvotienten for at dividere CD og AC=cosinus for den givne vinkel. Værdien af trigonometriske funktioner kan findes i en speciel tabel.

På samme måde kan du finde værdien af AD:

AD=ACsin 30°

Nu skal du beregne det ønskede resultat ved hjælp af følgende formulering: arealet af cylinderens laterale overflade er lig med to gange resultatet af at gange "pi", figurens radius og dens højde. En anden formel bør også bruges: arealet af bunden af cylinderen. Det er lig med resultatet af at gange "pi" med kvadratet af radius. Og endelig den sidste formel: samlet overfladeareal. Det er lig med summen af de to foregående områder.

Opgave 2.

Cylindere er givet. Deres volumen=128n cm³. Hvilken cylinder har den mindstefuld overflade?

Beslutning. Først skal du bruge formlerne til at finde rumfanget af en figur og dens højde.

Da det samlede overfladeareal af en cylinder er kendt fra teorien, skal dens formel anvendes.

Hvis vi betragter den resulterende formel som en funktion af cylinderens areal, vil minimum "indikator" blive nået ved ekstremumpunktet. For at få den sidste værdi skal du bruge differentiering.

Formler kan ses i en speciel tabel til at finde derivater. I fremtiden sidestilles det fundne resultat til nul, og løsningen af ligningen findes.

Svar: S_{min nås ved h=1/32 cm, R=64 cm.}

Problem 3.

Givet en stereometrisk figur - en cylinder og et snit. Sidstnævnte udføres på en sådan måde, at det er placeret parallelt med det stereometriske legemes akse. Cylinderen har følgende parametre: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm Det er nødvendigt at finde afstanden mellem sektionen og aksen.

Beslutning.

Da tværsnittet af en cylinder forstås som VSCM, dvs. et rektangel, er dens side VM=h. WMC skal overvejes. Trekanten er rektangulær. Baseret på dette udsagn kan vi udlede den korrekte antagelse, at MK=BC.

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² - 15²

MK²=64

MK=8

Herfra kan vi konkludere, at MK=BC=8 cm.

Det næste trin er at tegne et snit gennem bunden af figuren. Det er nødvendigt at overveje det resulterende fly.

AD – diameter af en stereometrisk figur. Det er parallelt med afsnittet nævnt i problemformuleringen.

BC er en lige linje placeret på planet af det eksisterende rektangel.

ABCD er en trapez. I et bestemt tilfælde betragtes den som ligebenet, da en cirkel er beskrevet omkring den.

Hvis du finder højden af den resulterende trapez, kan du få svaret givet i begyndelsen af opgaven. Nemlig: at finde afstanden mellem aksen og det tegnede snit.

For at gøre dette skal du finde værdierne for AD og OS.

Svar: afsnittet er placeret 3 cm fra aksen.

Problemer med at konsolidere materialet

Eksempel 1.

Cylinder givet. Sidefladearealet anvendes i den videre løsning. Andre muligheder er kendt. Arealet af basen er Q, arealet af det aksiale snit er M. Det er nødvendigt at finde S. Med andre ord, cylinderens samlede areal.

Eksempel 2.

Cylinder givet. Det laterale overfladeareal skal findes i et af trinene til at løse problemet. Det er kendt, at højde=4 cm, radius=2 cm. Det er nødvendigt at finde det samlede areal af en stereometrisk figur.