Når man studerer gassers adfærd i fysik, opstår der ofte problemer med at bestemme den energi, der er lagret i dem, som teoretisk kan bruges til at udføre noget nyttigt arbejde. I denne artikel vil vi overveje spørgsmålet om, hvilke formler der kan bruges til at beregne den indre energi af en ideel gas.
Konceptet med en ideel gas
En klar forståelse af begrebet en ideel gas er vigtig, når man løser problemer med systemer i denne tilstand af aggregering. Enhver gas antager formen og volumen af beholderen, hvori den er placeret, men ikke enhver gas er ideel. For eksempel kan luft betragtes som en blanding af ideelle gasser, mens vanddamp ikke er det. Hvad er den grundlæggende forskel mellem rigtige gasser og deres ideelle model?
Svaret på spørgsmålet vil være følgende to funktioner:
- forholdet mellem den kinetiske og potentielle energi af de molekyler og atomer, der udgør gassen;
- forholdet mellem de lineære størrelser af partiklergas og den gennemsnitlige afstand mellem dem.
En gas anses kun for at være ideel, hvis dens partiklers gennemsnitlige kinetiske energi er urimeligt større end bindingsenergien mellem dem. Forskellen mellem disse energier er sådan, at vi kan antage, at interaktionen mellem partikler er fuldstændig fraværende. En ideel gas er også karakteriseret ved fraværet af dimensioner af dens partikler, eller rettere, disse dimensioner kan ignoreres, da de er meget mindre end de gennemsnitlige interpartikelafstande.
Gode empiriske kriterier til at bestemme idealiteten af et gassystem er dets termodynamiske egenskaber såsom temperatur og tryk. Hvis den første er større end 300 K, og den anden er mindre end 1 atmosfære, kan enhver gas betragtes som ideel.
Hvad er den indre energi i en gas?
Før du nedskriver formlen for den indre energi af en ideel gas, skal du lære denne egenskab nærmere at kende.
I termodynamik er indre energi norm alt betegnet med det latinske bogstav U. I det generelle tilfælde bestemmes det af følgende formel:
U=H - PV
Hvor H er entalpien for systemet, er P og V tryk og volumen.
I sin fysiske betydning består indre energi af to komponenter: kinetisk og potentiale. Den første er forbundet med forskellige former for bevægelse af systemets partikler, og den anden - med kraftinteraktionen mellem dem. Hvis vi anvender denne definition på begrebet en ideel gas, som ikke har nogen potentiel energi, så vil værdien af U i enhver tilstand af systemet være nøjagtigt lig med dens kinetiske energi, det vil sige:
U=Ek.
Udledning af den indre energiformel
Ovenfor fandt vi ud af, at for at bestemme det for et system med en ideel gas, er det nødvendigt at beregne dets kinetiske energi. Fra den almene fysiks forløb vides det, at energien af en partikel med massen m, som bevæger sig fremad i en bestemt retning med en hastighed v, er bestemt af formlen:
Ek1=mv2/2.
Det kan også anvendes på gaspartikler (atomer og molekyler), men der skal fremsættes nogle bemærkninger.
For det første skal hastigheden v forstås som en gennemsnitsværdi. Faktum er, at gaspartikler bevæger sig med forskellige hastigheder i henhold til Maxwell-Boltzmann-fordelingen. Sidstnævnte gør det muligt at bestemme gennemsnitshastigheden, som ikke ændrer sig over tid, hvis der ikke er ydre påvirkninger på systemet.
For det andet antager formlen for Ek1 energi pr. frihedsgrad. Gaspartikler kan bevæge sig i alle tre retninger og også rotere afhængigt af deres struktur. For at tage højde for frihedsgraden z skal den ganges med Ek1, dvs.:
Ek1z=z/2mv2.
Den kinetiske energi af hele systemet Ek er N gange større end Ek1z, hvor N er det samlede antal gaspartikler. Så for dig får vi:
U=z/2Nmv2.
Ifølge denne formel er en ændring i en gass indre energi kun mulig, hvis antallet af partikler N ændres isystem eller deres gennemsnitlige hastighed v.
Intern energi og temperatur
Ved at anvende bestemmelserne i den molekylære kinetiske teori for en ideel gas kan vi opnå følgende formel for forholdet mellem den gennemsnitlige kinetiske energi af en partikel og den absolutte temperatur:
mv2/2=1/2kBT.
Her er kB Boltzmann-konstanten. Ved at erstatte denne lighed i formlen for U opnået i afsnittet ovenfor, kommer vi frem til følgende udtryk:
U=z/2NkBT.
Dette udtryk kan omskrives i forhold til mængden af stof n og gaskonstanten R i følgende form:
U=z/2nR T.
I overensstemmelse med denne formel er en ændring i en gass indre energi mulig, hvis dens temperatur ændres. Værdierne U og T afhænger lineært af hinanden, det vil sige, at grafen for funktionen U(T) er en ret linje.
Hvordan påvirker strukturen af en gaspartikel den indre energi i et system?
Strukturen af en gaspartikel (molekyle) refererer til antallet af atomer, der udgør den. Det spiller en afgørende rolle, når den tilsvarende frihedsgrad z i formlen erstattes med U. Hvis gassen er monoatomisk, bliver formlen for gassens indre energi:
U=3/2nRT.
Hvor kom værdien z=3 fra? Dets udseende er forbundet med kun tre frihedsgrader, som et atom har, da det kun kan bevæge sig i en af tre rumlige retninger.
Hvis en diatomiskgasmolekyle, så skal den indre energi beregnes ved hjælp af følgende formel:
U=5/2nRT.
Som du kan se, har et diatomisk molekyle allerede 5 frihedsgrader, hvoraf 3 er translationelle og 2 roterende (i overensstemmelse med molekylets geometri kan det rotere omkring to indbyrdes vinkelrette akser).
Til sidst, hvis gassen er tre eller flere atomare, så er følgende udtryk for U sandt:
U=3nRT.
Komplekse molekyler har 3 translationelle og 3 rotationsgrader af frihed.
Eksempelproblem
Under stemplet er en monoatomisk gas ved et tryk på 1 atmosfære. Som et resultat af opvarmning udvidede gassen sig, så dens volumen steg fra 2 liter til 3. Hvordan ændrede gassystemets indre energi sig, hvis ekspansionsprocessen var isobar.
For at løse dette problem er formlerne i artiklen ikke nok. Det er nødvendigt at huske tilstandsligningen for en ideel gas. Det ser ud som nedenfor.
Da stemplet lukker cylinderen med gas, forbliver mængden af stof n konstant under ekspansionsprocessen. Under en isobar proces ændres temperaturen i direkte forhold til systemets volumen (Charles lov). Det betyder, at formlen ovenfor ville være:
PΔV=nRΔT.
Så vil udtrykket for den indre energi af en monoatomisk gas have formen:
ΔU=3/2PΔV.
Ved at erstatte værdierne for tryk og volumenændring i SI-enheder i denne ligning, får vi svaret: ΔU ≈ 152 J.
