Logarithms: eksempler og løsninger

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-02 17:43

Som du ved, når udtryk med potenser ganges, summeres deres eksponenter altid (a^ba^c=a^{b+ c). Denne matematiske lov blev udledt af Arkimedes, og senere, i det 8. århundrede, skabte matematikeren Virasen en tabel med heltalsindikatorer. Det var dem, der tjente til den videre opdagelse af logaritmer. Eksempler på brug af denne funktion kan findes næsten over alt, hvor det er nødvendigt at forenkle besværlig multiplikation til simpel addition. Hvis du bruger 10 minutter på at læse denne artikel, vil vi forklare dig, hvad logaritmer er, og hvordan du arbejder med dem. Enkelt og tilgængeligt sprog.}

Definition i matematik

Logaritmen er et udtryk for følgende form: log_ab=c c" hvor du skal hæve grundtallet "a" for til sidst at få værdien " b". Lad os analysere logaritmen ved hjælp af eksempler, lad os sige, at der er et udtryk log_{28. Hvordan finder man svaret? Det er meget enkelt, du skal finde en sådan grad, at du fra 2 til den nødvendige grad får 8. Efter at have lavet nogle beregninger i dit sind, får vi tallet 3! Og det er sandt, fordi2 hævet til 3 giver svaret 8.}

varianter af logaritmer

For mange elever og studerende virker dette emne kompliceret og uforståeligt, men faktisk er logaritmer ikke så skræmmende, det vigtigste er at forstå deres generelle betydning og huske deres egenskaber og nogle regler. Der er tre separate slags logaritmiske udtryk:

Naturlig logaritme ln a, hvor grundtallet er Euler-tallet (e=2, 7).
Decimallogaritme lg a, hvor grundtallet er tallet 10.
Logaritme af ethvert tal b til grundtal a>1.

Hver af dem er løst på en standard måde, inklusive forenkling, reduktion og efterfølgende reduktion til én logaritme ved hjælp af logaritmiske sætninger. For at opnå de korrekte værdier af logaritmer skal man huske deres egenskaber og rækkefølgen af handlinger ved løsning af dem.

Regler og nogle begrænsninger

I matematik er der flere regler-begrænsninger, der accepteres som et aksiom, det vil sige, at de ikke er til forhandling og er sande. For eksempel er det umuligt at dividere tal med nul, og det er også umuligt at tage en lige rod fra negative tal. Logaritmer har også deres egne regler, hvorefter du nemt kan lære at arbejde selv med lange og rummelige logaritmiske udtryk:

grundlaget for "a" skal altid være større end nul og samtidig ikke være lig med 1, ellers vil udtrykket miste sin betydning, fordi "1" og "0" i enhver grad altid er lig med deres værdier;
if a > 0, then ab>0,det viser sig, at "c" også skal være større end nul.

Hvordan løser man logaritmer?

For eksempel, givet opgaven med at finde svaret på ligningen 10^x=100. Det er meget nemt, du skal vælge en sådan potens ved at hæve tallet ti, vi få 100. Dette, selvfølgelig Nå, kvadratisk magt! 10^2=100.

Lad os nu repræsentere dette udtryk som et logaritmisk udtryk. Vi får log_{10100=2. Når man løser logaritmer, konvergerer alle handlinger praktisk t alt til at finde den potens, som logaritmens basis skal indtastes til for at få et givet tal.}

For nøjagtigt at bestemme værdien af en ukendt grad, skal du lære at arbejde med gradtabellen. Det ser sådan ud:

Som du kan se, kan nogle eksponenter gættes intuitivt, hvis du har en teknisk tankegang og viden om multiplikationstabellen. Større værdier vil dog kræve et effekttabel. Det kan bruges selv af dem, der ikke forstår noget som helst i komplekse matematiske emner. Den venstre kolonne indeholder tal (grundlag a), den øverste række af tal er værdien af potensen c, som tallet a er hævet til. Ved skæringspunktet definerer cellerne værdierne af de tal, der er svaret (ac=b). Lad os for eksempel tage den allerførste celle med tallet 10 og kvadrere det, vi får værdien 100, som er angivet i skæringspunktet mellem vores to celler. Alt er så enkelt og nemt, at selv den mest ægte humanist vil forstå!

Ligninger og uligheder

Det viser sig, at nårUnder visse betingelser er eksponenten logaritmen. Derfor kan ethvert matematisk numerisk udtryk skrives som en logaritmisk ligning. For eksempel kan 3⁴=81 skrives som logaritmen af 81 til grundtal 3, hvilket er fire (log₃81=4). For negative grader er reglerne de samme: 2^-5=1/32 skrevet som en logaritme, får vi log_{2 (1/32))=-5. En af de mest fascinerende dele af matematik er emnet "logaritmer". Vi vil overveje eksempler og løsninger på ligninger lidt lavere umiddelbart efter at have studeret deres egenskaber. Lad os indtil videre se på, hvordan uligheder ser ud, og hvordan man skelner dem fra ligninger.}

Følgende udtryk er givet: log_{2(x-1) > 3 - det er en logaritmisk ulighed, da den ukendte værdi "x" er under tegnet af logaritme. Udtrykket sammenligner også to værdier: grundtallet to-logaritmen for det ønskede tal er større end tallet tre.}

Den vigtigste forskel mellem logaritmiske ligninger og uligheder er, at ligninger med logaritmer (eksempel - logaritme₂x=√9) _{antyder i svaret en eller flere specifikke numeriske værdier, mens ved løsning af en ulighed bestemmes både rækken af acceptable værdier og brudpunkterne for denne funktion. Som følge heraf er svaret ikke et simpelt sæt af individuelle tal, som i svaret på ligningen, men en kontinuerlig række eller sæt af tal.}

Grundlæggende sætninger om logaritmer

Når du løser primitive opgaver for at finde værdierne af logaritmen, kender du muligvis ikke dens egenskaber. Men når det kommer til logaritmiske ligninger eller uligheder, er det først og fremmest nødvendigt at forstå og anvende alle logaritmers grundlæggende egenskaber i praksis. Vi vil stifte bekendtskab med eksemplerne på ligninger senere, lad os først analysere hver egenskab mere detaljeret.

Den grundlæggende identitet ser således ud: alogaB=B. Det gælder kun, hvis a er større end 0, ikke lig med én, og B er større end nul.

Produktets logaritme kan repræsenteres i følgende formel: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{I dette tilfælde er den obligatoriske betingelse: d, s}1 _{og s}2 _{> 0; a≠1. Du kan give et bevis for denne logaritmeformel med eksempler og en løsning. Lad log}a_s1 _=f1 _{og log}a_s 2_=f2_{, derefter en}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Vi får det s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(gradegenskaber), og yderligere per definition: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{som skulle bevises.}

Logaritmen for kvotienten ser således ud: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_as_2.

Sætningen i form af en formel har følgende form: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Denne formel kaldes "egenskaben for graden af logaritmen". Det ligner egenskaberne ved almindelige grader, og det er ikke overraskende, for al matematik hviler på regulære postulater. Lad os se på beviset.

Lad log_ab=t, vi får en^t=b. Hvis du hæver begge sider til m-potensen: a^tn=b^;

but fordi a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, derfor log}aq _bn=(nt)/t, derefter log^a_q b_n=n/q log^ab. Sætning bevist.

Eksempler på problemer og uligheder

De mest almindelige typer af logaritmeproblemer er eksempler på ligninger og uligheder. De findes i næsten alle opgavebøger, og indgår også i den obligatoriske del af eksamen i matematik. For at komme ind på et universitet eller bestå optagelsesprøver i matematik skal du vide, hvordan du løser sådanne problemer korrekt.

Desværre er der ingen enkelt plan eller skema til at løse og bestemme den ukendte værdi af logaritmen, men visse regler kan anvendes på hver matematisk ulighed eller logaritmisk ligning. Først og fremmest bør du finde ud af, om udtrykket kan forenkles eller reduceres til en generel form. Du kan forenkle lange logaritmiske udtryk, hvis du bruger deres egenskaber korrekt. Lad os snart lære dem at kende.

Når man løser logaritmiske ligninger,det er nødvendigt at bestemme, hvilken slags logaritme vi har foran os: et eksempel på et udtryk kan indeholde en naturlig logaritme eller en decimal.

Her er eksempler på decimallogaritmer: ln100, ln1026. Deres løsning koger ned til det faktum, at du skal bestemme, i hvilken grad base 10 vil være lig med henholdsvis 100 og 1026. For løsninger af naturlige logaritmer skal man anvende logaritmiske identiteter eller deres egenskaber. Lad os se på eksempler på løsning af logaritmiske problemer af forskellige typer.

Sådan bruges logaritmeformler: med eksempler og løsninger

Så, lad os se på eksempler på brug af hovedsætningerne om logaritmer.

Egenskaben for produktets logaritme kan bruges i opgaver, hvor det er nødvendigt at dekomponere en stor værdi af tallet b i enklere faktorer. For eksempel log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Svaret er 9.}

log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - som du kan se, lykkedes det os ved at anvende den fjerde egenskab for logaritmens grad at løse ved første øjekast et komplekst og uløseligt udtryk. Alt du skal gøre er at faktorisere basen og derefter tage kraften ud af logaritmens fortegn.}

Opgaver fra eksamen

Logarithmer findes ofte i optagelsesprøver, især mange logaritmiske problemer i Unified State Examination (statseksamen for alle skolekandidater). Norm alt er disse opgaver til stede ikke kun i del A (mestlet test del af eksamen), men også i del C (de sværeste og mest omfangsrige opgaver). Eksamenen kræver et nøjagtigt og perfekt kendskab til emnet "Naturlige logaritmer".

Eksempler og problemløsninger er taget fra de officielle versioner af eksamen. Lad os se, hvordan sådanne opgaver løses.

Given log₂(2x-1)=4. Løsning:

omskriv udtrykket, forenkle det lidt log_2(2x-1)=22^{, ved definitionen af logaritmen får vi, at 2x-1=2}4^{, derfor 2x=17; x=8, 5.}

Følg nogle få retningslinjer, hvorefter du nemt kan løse alle ligninger, der indeholder udtryk, der er under logaritmens fortegn.

Det er bedst at reducere alle logaritmer til den samme base, så løsningen ikke bliver besværlig og forvirrende.
Alle udtryk under logaritmetegnet er angivet som positive, så når man multiplicerer eksponenten for udtrykket, der er under logaritmetegnet og som dets base, skal det udtryk, der er tilbage under logaritmen, være positivt.