Matricer og determinanter blev opdaget i det attende og nittende århundrede. I første omgang vedrørte deres udvikling transformation af geometriske objekter og løsning af systemer af lineære ligninger. Historisk set var den tidlige vægt på determinanten. I moderne lineære algebrabehandlingsmetoder betragtes matricer først. Det er værd at overveje dette spørgsmål et stykke tid.
Svar fra dette vidensområde
Matricer giver en teoretisk og praktisk nyttig måde at løse mange problemer på, såsom:
- systemer af lineære ligninger;
- ligevægt af faste stoffer (i fysik);
- grafteori;
- Leontiefs økonomiske model;
- skovbrug;
- computergrafik og tomografi;
- genetik;
- kryptografi;
- elektriske netværk;
- fractal.
Faktisk har matrixalgebra for "dummies" en forenklet definition. Det udtrykkes som følger: dette er et videnskabeligt vidensfelt, hvorde pågældende værdier studeres, analyseres og udforskes fuldt ud. I dette afsnit af algebra studeres forskellige operationer på de undersøgte matricer.
Sådan arbejder man med matricer
Disse værdier betragtes som ens, hvis de har de samme dimensioner, og hvert element i den ene er lig med det tilsvarende element i den anden. Det er muligt at gange en matrix med en hvilken som helst konstant. Denne givne kaldes skalar multiplikation. Eksempel: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Matricer af samme størrelse kan tilføjes og trækkes fra ved input, og værdier af kompatible størrelser kan ganges. Eksempel: tilføj to A og B: A=[21−10]B=[1423]. Dette er muligt, fordi A og B begge er matricer med to rækker og samme antal kolonner. Det er nødvendigt at tilføje hvert element i A til det tilsvarende element i B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matricer trækkes fra på samme måde i algebra.
Matrix multiplikation fungerer lidt anderledes. Desuden kan der være mange sager og muligheder samt løsninger. Hvis vi multiplicerer matricen Apq og Bmn, så er produktet Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Indtastningen i gth række og hth kolonne af AB er summen af produktet af de tilsvarende poster i g A og h B. Det er kun muligt at gange to matricer, hvis antallet af kolonner i den første og rækker i den anden er lige. Eksempel: opfylde betingelsen for betragtede A og B: A=[1−130]B=[2−11214]. Dette er muligt, fordi den første matrix indeholder 2 kolonner og den anden indeholder 2 rækker. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Grundlæggende oplysninger om matricer
De pågældende værdier organiserer information såsom variabler og konstanter og gemmer dem i rækker og kolonner, norm alt kaldet C. Hver position i matrixen kaldes et element. Eksempel: C=[1234]. Består af to rækker og to kolonner. Element 4 er i række 2 og kolonne 2. Du kan norm alt navngive en matrix efter dens dimensioner, den der hedder Cmk har m rækker og k kolonner.
Udvidede matricer
Overvejelser er utroligt nyttige ting, der dukker op i mange forskellige anvendelsesområder. Matricer var oprindeligt baseret på lineære ligningssystemer. I betragtning af den følgende struktur af uligheder skal følgende supplerede matrix tages i betragtning:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Skriv koefficienter og svarværdier ned, inklusive alle minustegn. Hvis elementet med et negativt tal, så vil det være lig med "1". Det vil sige, at givet et system af (lineære) ligninger, er det muligt at associere en matrix (gitter af tal inden for parentes) til den. Det er den, der kun indeholder koefficienterne for det lineære system. Dette kaldes den "udvidede matrix". Gitteret, der indeholder koefficienterne fra venstre side af hver ligning, er blevet "polstret" med svarene fra højre side af hver ligning.
Records, altsåB-værdierne af matrixen svarer til x-, y- og z-værdierne i det oprindelige system. Hvis det er ordentligt arrangeret, så tjek det først og fremmest. Nogle gange er du nødt til at omarrangere termerne eller indsætte nuller som pladsholdere i den matrix, der studeres eller studeres.
I betragtning af følgende ligningssystem kan vi straks skrive den tilhørende forstærkede matrix:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Først skal du sørge for at omarrangere systemet som:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Så er det muligt at skrive den tilhørende matrix som: [11000113-1012]. Når du danner en udvidet, er det værd at bruge nul for enhver post, hvor den tilsvarende plet i systemet af lineære ligninger er tom.
Matrix Algebra: Egenskaber for operationer
Hvis det kun er nødvendigt at danne elementer ud fra koefficientværdier, vil den betragtede værdi se således ud: [110011-101]. Dette kaldes "koefficientmatrixen".
Med hensyn til følgende udvidede matrixalgebra er det nødvendigt at forbedre den og tilføje det tilhørende lineære system. Når det er sagt, er det vigtigt at huske, at de kræver, at variablerne er overskuelige og pæne. Og norm alt, når der er tre variable, skal du bruge x, y og z i den rækkefølge. Derfor bør det tilknyttede lineære system være:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Matrixstørrelse
De pågældende elementer henvises ofte til efter deres ydeevne. Størrelsen af en matrix i algebra er angivet sommål, da rummet kan kaldes anderledes. Målte mål for værdier er rækker og kolonner, ikke bredde og længde. For eksempel matrix A:
[1234]
[2345]
[3456].
Da A har tre rækker og fire kolonner, er størrelsen af A 3 × 4.
→
↓
Linjer går sidelæns. Søjlerne går op og ned. "Række" og "kolonne" er specifikationer og kan ikke udskiftes. Matrixstørrelser angives altid med antallet af rækker og derefter antallet af kolonner. Efter denne konvention, følgende B:
[123]
[234] er 2 × 3. Hvis en matrix har det samme antal rækker som kolonner, kaldes den en "firkant". For eksempel koefficientværdier fra oven:
[110]
[011]
[-101] er en 3×3 kvadratisk matrix.
Matrix-notation og formatering
Formateringsnote: Når du f.eks. skal skrive en matrix, er det vigtigt at bruge parenteser . Absolut værdi barer || bruges ikke, fordi de har en anden retning i denne sammenhæng. Parenteser eller krøllede seler {} bruges aldrig. Eller et andet grupperingssymbol, eller slet ingen, da disse præsentationer ikke har nogen betydning. I algebra er en matrix altid indenfor firkantede parenteser. Kun korrekt notation skal bruges, ellers kan svar blive betragtet som forvanskede.
Som tidligere nævnt kaldes værdierne i en matrix for poster. Uanset årsagen er de pågældende elementer norm alt skrevetstore bogstaver, såsom A eller B, og indgange angives med de tilsvarende små bogstaver, men med sænkede bogstaver. I matrix A kaldes værdierne norm alt "ai, j", hvor i er rækken af A og j er kolonnen af A. For eksempel er a3, 2=8. Indtastningen for a1, 3 er 3.
For mindre matricer, dem med færre end ti rækker og kolonner, udelades det sænkede komma undertiden. For eksempel kan "a1, 3=3" skrives som "a13=3". Dette vil naturligvis ikke fungere for store matricer, da a213 vil være uklart.
Matrixtyper
Nogle gange klassificeret i henhold til deres rekordkonfigurationer. For eksempel kaldes en sådan matrix, der har alle nul-indgange under den diagonale top-venstre-neder-højre "diagonal" øvre trekantet. Der kan blandt andet være andre slags og typer, men de er ikke særlig anvendelige. Generelt opfattes det mest som øvre trekantet. Værdier med ikke-nul eksponenter kun vandret kaldes diagonale værdier. Lignende typer har ikke-nul indgange, hvor alle er 1, sådanne svar kaldes identiske (af årsager, der vil blive tydelige, når det er lært og forstået, hvordan man multiplicerer de pågældende værdier). Der er mange lignende forskningsindikatorer. 3 × 3 identiteten er angivet med I3. På samme måde er 4 × 4-identiteten I4.
Matrix Algebra og lineære rum
Bemærk, at trekantede matricer er firkantede. Men diagonalerne er trekantede. I lyset af dette er defirkant. Og identiteter betragtes som diagonaler og derfor trekantede og firkantede. Når det er påkrævet at beskrive en matrix, specificerer man som regel blot sin egen mest specifikke klassifikation, da det indebærer alle de andre. Klassificer følgende forskningsmuligheder:som 3 × 4. I dette tilfælde er de ikke kvadratiske. Derfor kan værdierne ikke være noget andet. Følgende klassifikation:er mulig som 3 × 3. Men det betragtes som et kvadrat, og der er ikke noget særligt ved det. Klassificering af følgende data:som 3 × 3 øverste trekantede, men den er ikke diagonal. Sandt nok, i de betragtede værdier kan der være yderligere nuller på eller over det lokaliserede og angivne rum. Klassifikationen, der undersøges, er yderligere: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], hvor den er repræsenteret som en diagonal, og desuden er indtastningerne alle 1. Så er dette en 3 × 3 identitet, I3.
Da analoge matricer per definition er kvadratiske, behøver du kun at bruge et enkelt indeks for at finde deres dimensioner. For at to matricer skal være ens, skal de have den samme parameter og have de samme indgange de samme steder. Antag for eksempel, at der er to elementer under overvejelse: A=[1 3 0] [-2 0 0] og B=[1 3] [-2 0]. Disse værdier kan ikke være de samme, da de er forskellige i størrelse.
Selv hvis A og B er: A=[3 6] [2 5] [1 4] og B=[1 2 3] [4 5 6] - er de stadig ikke ens samme ting. A og B har hverseks poster og har også de samme tal, men det er ikke nok til matricer. A er 3×2. Og B er en 2×3 matrix. A for 3×2 er ikke 2×3. Det er lige meget, om A og B har den samme mængde data eller endda de samme tal som posterne. Hvis A og B ikke har samme størrelse og form, men har identiske værdier på lignende steder, er de ikke ens.
Lignende operationer i det område, der overvejes
Denne egenskab ved matrix-lighed kan omdannes til opgaver til uafhængig forskning. For eksempel er der givet to matricer, og det er angivet, at de er ens. I dette tilfælde skal du bruge denne lighed til at udforske og få svar på værdierne af variablerne.
Eksempler og løsninger på matricer i algebra kan varieres, især når det kommer til ligheder. Da følgende matricer tages i betragtning, er det nødvendigt at finde x- og y-værdierne. For at A og B er ens, skal de have samme størrelse og form. Faktisk er de sådan, fordi hver af dem er 2 × 2 matricer. Og de skal have de samme værdier de samme steder. Så skal a1, 1 være lig med b1, 1, a1, 2 skal være lig med b1, 2 og så videre. dem). Men a1, 1=1 er åbenbart ikke lig med b1, 1=x. For at A er identisk med B, skal posten have a1, 1=b1, 1, så den kan være 1=x. Tilsvarende er indekserne a2, 2=b2, 2, så 4=y. Så er løsningen: x=1, y=4. Givet at følgendematricer er ens, skal du finde værdierne af x, y og z. For at have A=B skal koefficienterne have alle indgange ens. Det vil sige a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 og så videre. Især skal:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Som du kan se fra de valgte matricer: med 1, 1-, 2, 2- og 3, 1-elementer. Ved at løse disse tre ligninger får vi svaret: x=4, y=-6 og z=9. Matrixalgebra og matrixoperationer er forskellige fra, hvad alle er vant til, men de er ikke reproducerbare.
Yderligere oplysninger i dette område
Lineær matrixalgebra er studiet af lignende ligningssæt og deres transformationsegenskaber. Dette vidensområde giver dig mulighed for at analysere rotationer i rummet, tilnærme mindste kvadrater, løse tilknyttede differentialligninger, bestemme en cirkel, der går gennem tre givne punkter, og løse mange andre problemer inden for matematik, fysik og teknologi. Den lineære algebra i en matrix er ikke rigtig den tekniske betydning af det anvendte ord, det vil sige et vektorrum v over et felt f osv.
Matrix og determinant er ekstremt nyttige lineære algebraværktøjer. En af de centrale opgaver er løsningen af matrixligningen Ax=b, for x. Selvom dette teoretisk set kunne løses ved at bruge det omvendte x=A-1 b. Andre metoder, såsom gaussisk eliminering, er numerisk mere pålidelige.
Ud over at blive brugt til at beskrive studiet af lineære ligningssæt, er den specificeredeovenstående udtryk bruges også til at beskrive en bestemt type algebra. Især L over et felt F har strukturen af en ring med alle de sædvanlige aksiomer for intern addition og multiplikation, sammen med distributive love. Derfor giver det den mere struktur end en ring. Lineær matrixalgebra tillader også en ydre operation af multiplikation med skalarer, der er elementer i det underliggende felt F. For eksempel dannes mængden af alle betragtede transformationer fra et vektorrum V til sig selv over et felt F over F. Et andet eksempel på lineær algebra er mængden af alle reelle kvadratiske matricer over et felt R reelle tal.
