I dagens verden bruger vi i stigende grad en række forskellige biler og gadgets. Og ikke kun når det er nødvendigt at anvende bogstavelig t alt umenneskelig styrke: Flyt lasten, løft den til en højde, grav en lang og dyb rende osv. Biler i dag samles af robotter, mad tilberedes af multikogere, og elementære aritmetiske beregninger er udført af lommeregnere. Oftere og oftere hører vi udtrykket "boolsk algebra". Måske er det tid til at forstå menneskets rolle i at skabe robotter og maskinernes evne til at løse ikke kun matematiske, men også logiske problemer.
Logic
Oversat fra græsk er logik et ordnet tænkningssystem, der skaber relationer mellem givne forhold og giver dig mulighed for at drage konklusioner baseret på præmisser og antagelser. Ganske ofte spørger vi hinanden: "Er det logisk?" Det modtagne svar bekræfter vores antagelser eller kritiserer tankegangen. Men processen stopper ikke: Vi fortsætter med at ræsonnere.
Nogle gange er antallet af tilstande (indledende) så stort, og relationerne mellem dem er så indviklede og komplekse, at den menneskelige hjerne ikke er i stand til at "fordøje" alt på én gang. Det kan tage mere end en måned (uge, år) at forstå, hvad der sker. MenDet moderne liv giver os ikke sådanne tidsintervaller til at træffe beslutninger. Og vi tyer til hjælp fra computere. Og det er her logikkens algebra optræder med sine egne love og egenskaber. Ved at downloade alle de indledende data giver vi computeren mulighed for at genkende alle sammenhænge, eliminere modsigelser og finde en tilfredsstillende løsning.
Matematik og logik
Den berømte Gottfried Wilhelm Leibniz formulerede begrebet "matematisk logik", hvis problemer kun var forståelige for en snæver kreds af videnskabsmænd. Denne retning vakte ikke særlig interesse, og indtil midten af 1800-tallet kendte de færreste til matematisk logik.
Stor interesse for det videnskabelige samfund forårsagede en strid, hvor englænderen George Boole annoncerede sin hensigt om at skabe en gren af matematikken, der absolut ikke har nogen praktisk anvendelse. Som vi husker fra historien, var industriel produktion aktivt i udvikling på det tidspunkt, alle former for hjælpemaskiner og værktøjsmaskiner blev udviklet, det vil sige, at alle videnskabelige opdagelser havde et praktisk fokus.
Når vi ser fremad, så lad os sige, at boolsk algebra er den mest brugte del af matematikken i den moderne verden. Så Bull tabte sit argument.
George Buhl
Selve forfatterens personlighed fortjener særlig opmærksomhed. Selv i betragtning af, at folk i fortiden voksede op før os, er det stadig umuligt ikke at bemærke, at J. Buhl i en alder af 16 underviste på en landsbyskole, og i en alder af 20 åbnede han sin egen skole i Lincoln. Matematikeren beherskede fem fremmedsprog, og i sin fritid læste han værkerNewton og Lagrange. Og alt dette handler om søn af en simpel arbejder!
I 1839 sendte Boole første gang sine videnskabelige artikler til Cambridge Mathematical Journal. Videnskabsmanden er 24 år gammel. Booles arbejde så interesserede medlemmer af Royal Society, at han i 1844 modtog en medalje for sit bidrag til udviklingen af matematisk analyse. Adskillige mere offentliggjorte værker, som beskrev elementerne i matematisk logik, tillod den unge matematiker at tage stilling som professor ved College of Cork. Husk, at Buhl selv ikke havde nogen uddannelse.
Idea
I princippet er boolsk algebra meget enkel. Der er udsagn (logiske udtryk), som ud fra et matematiksynspunkt kun kan defineres med to ord: "sand" eller "falsk". For eksempel om foråret blomstrer træerne - sandt, om sommeren sner det - en løgn. Det smukke ved denne matematik er, at der ikke er noget strengt behov for kun at bruge tal. Alle udsagn med en utvetydig betydning er ganske velegnede til dommes algebra.
Således kan logikkens algebra bruges bogstaveligt t alt over alt: i planlægning og skrivning af instruktioner, analyse af modstridende oplysninger om begivenheder og bestemmelse af rækkefølgen af handlinger. Det vigtigste er at forstå, at det er fuldstændig ligegyldigt, hvordan vi afgør udsagnets sandhed eller falskhed. Disse "hvordan" og "hvorfor" skal abstraheres væk. Kun udsagnet om fakta har betydning: sandt-falskt.
For programmering er funktionerne i logikkens algebra naturligvis vigtige, som er skrevet af den tilsvarendetegn og symboler. Og at lære dem betyder at mestre et nyt fremmedsprog. Intet er umuligt.
Grundlæggende begreber og definitioner
Uden at gå i dybden, lad os beskæftige os med terminologien. Så boolsk algebra antager:
- udsagn;
- logiske operationer;
- funktioner og love.
Udsagn er ethvert bekræftende udtryk, der ikke kan fortolkes tvetydigt. De er skrevet som tal (5 > 3) eller formuleret i velkendte ord (elefant er det største pattedyr). Samtidig har sætningen "giraffen har ingen hals" også ret til at eksistere, kun boolsk algebra vil definere den som "falsk."
Alle udsagn skal være utvetydige, men de kan være elementære og sammensatte. Sidstnævnte bruger logiske forbindelser. Det vil sige, at i dommes algebra dannes sammensatte udsagn ved at tilføje elementære udsagn ved hjælp af logiske operationer.
boolske algebraoperationer
Vi husker allerede, at operationer i dommens algebra er logiske. Ligesom talalgebra bruger aritmetik til at addere, subtrahere eller sammenligne tal, giver elementer af matematisk logik dig mulighed for at lave komplekse udsagn, negere eller beregne det endelige resultat.
Logiske operationer til formalisering og enkelhed er skrevet af formler, vi kender i aritmetik. Boolsk algebras egenskaber gør det muligt at skrive ligninger og beregne ukendte. Logiske operationer skrives norm alt ved hjælp af en sandhedstabel. Dens søjlerdefinere elementerne i beregningen og den operation, der udføres på dem, og linjerne viser resultatet af beregningen.
Grundlæggende logiske handlinger
De mest almindelige operationer i boolsk algebra er negation (NOT) og logisk AND og OR. Næsten alle handlinger i algebraen af domme kan beskrives på denne måde. Lad os studere hver af de tre operationer mere detaljeret.
Negation (ikke) gælder kun for ét element (operand). Derfor kaldes negationsoperationen unær. For at skrive begrebet "ikke A" skal du bruge følgende symboler: ¬A, A¯¯¯ eller !A. I tabelform ser det sådan ud:
Negationsfunktionen er karakteriseret ved følgende udsagn: hvis A er sand, så er B falsk. For eksempel kredser Månen om Jorden – sandt; Jorden drejer rundt om månen - falsk.
Logisk multiplikation og addition
Den logiske OG kaldes konjunktionsoperationen. Hvad betyder det? For det første, at det kan anvendes på to operander, dvs. og er en binær operation. For det andet, at kun i tilfælde af sandheden af begge operander (både A og B) er selve udtrykket sandt. Ordsproget "Tålmodighed og arbejde vil knuse alt" antyder, at kun begge faktorer vil hjælpe en person med at klare vanskeligheder.
Symboler brugt til at skrive: A∧B, A⋅B eller A&&B.
Konjunktion svarer til multiplikation i aritmetik. Nogle gange siger de det - logisk multiplikation. Hvis vi multiplicerer elementerne i tabellen række for række, får vi et resultat svarende til logisk ræsonnement.
Disjunction er en logisk ELLER-operation. Det tager værdien af sandhednår mindst et af udsagn er sandt (enten A eller B). Det skrives således: A∨B, A+B eller A||B. Sandhedstabellerne for disse operationer er:
Disjunktion er som aritmetisk addition. Den logiske additionsoperation har kun én begrænsning: 1+1=1. Men vi husker, at i digit alt format er matematisk logik begrænset til 0 og 1 (hvor 1 er sandt, 0 er falsk). For eksempel betyder udsagnet "på et museum kan du se et mesterværk eller møde en interessant samtalepartner", at du kan se kunstværker, eller du kan møde en interessant person. Samtidig er muligheden for, at begge begivenheder finder sted samtidigt ikke udelukket.
Funktioner og love
Så vi ved allerede, hvilke logiske operationer boolsk algebra bruger. Funktioner beskriver alle egenskaberne ved elementer i matematisk logik og giver dig mulighed for at forenkle komplekse sammensatte problemer. Den mest forståelige og enkle egenskab synes at være afvisningen af afledte operationer. Derivater er eksklusive OR, implikation og ækvivalens. Da vi kun har studeret de grundlæggende operationer, vil vi også kun overveje deres egenskaber.
Associativitet betyder, at i udsagn som "og A, og B og C," er rækkefølgen af operanderne ligegyldig. Formlen er skrevet sådan her:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Som du kan se, er dette ikke kun karakteristisk for konjunktion, men også for disjunktion.
Kommutativitet angiver, at resultatetkonjunktion eller disjunktion afhænger ikke af, hvilket element der blev betragtet først:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Distributivitet gør det muligt at udvide parenteser i komplekse logiske udtryk. Reglerne ligner åbne parenteser i multiplikation og addition i algebra:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Egenskaberne for en og nul, som kan være en af operanderne, ligner også algebraisk multiplikation med nul eller en og addition med en:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Idempotens fortæller os, at hvis resultatet af en operation med hensyn til to lige store operander viser sig at være ens, så kan vi "smide" de ekstra operander væk, der komplicerer ræsonnementets forløb. Både konjunktion og disjunktion er idempotente operationer.
B∧B=B; B∨B=B.
Absorption giver os også mulighed for at forenkle ligninger. Absorption angiver, at når en anden operation med det samme element anvendes på et udtryk med én operand, er resultatet operanden fra den absorberende operation.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Operationssekvens
Rækkefølgen af operationer er af ikke ringe betydning. Faktisk, som for algebra, er der en prioritet af funktioner, som boolsk algebra bruger. Formler kan kun forenkles, hvis betydningen af operationerne observeres. Rangering fra den mest betydningsfulde til den mindste får vi følgende sekvens:
1. Nægtelse.
2. Konjunktion.
3. Disjunktion, eksklusivELLER.
4. Implikation, ækvivalens.
Som du kan se, har kun negation og konjunktion ikke samme forrang. Og prioriteringen af disjunktion og XOR er ens, såvel som prioriteterne for implikation og ækvivalens.
Implikation og ækvivalensfunktioner
Som vi allerede har sagt, ud over de grundlæggende logiske operationer bruger matematisk logik og teorien om algoritmer afledte. De mest brugte er implikation og ækvivalens.
Implikation, eller logisk konsekvens, er et udsagn, hvor en handling er en betingelse, og den anden er en konsekvens af dens implementering. Med andre ord er dette en sætning med præpositioner "hvis … så." "Hvis du kan lide at ride, så elsker du at bære slæder." Det vil sige, til skiløb skal du stramme slæden op ad bakken. Hvis der ikke er noget ønske om at bevæge sig ned ad bjerget, så behøver du ikke bære slæden. Det er skrevet sådan: A→B eller A⇒B.
Ekvivalens antager, at den resulterende handling kun sker, når begge operander er sande. For eksempel bliver nat til dag, når (og kun når) solen står op over horisonten. På matematisk logiks sprog skrives dette udsagn som følger: A≡B, A⇔B, A==B.
Andre love for boolsk algebra
Dommenes algebra er under udvikling, og mange interesserede videnskabsmænd har formuleret nye love. Postulaterne fra den skotske matematiker O. de Morgan betragtes som de mest berømte. Han bemærkede og definerede sådanne egenskaber som tæt negation, komplement og dobbelt negation.
Luk negation betyder, at der ikke er nogen negation før parentesen:ikke (A eller B)=ikke A eller IKKE B.
Når en operand negeres, uanset dens værdi, taler man om et komplement:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
Og endelig kompenserer den dobbelte negation for sig selv. De der. enten forsvinder negationen før operanden, eller også er der kun én tilbage.
Sådan løser du tests
Matematisk logik indebærer forenkling af givne ligninger. Ligesom i algebra skal du først gøre betingelsen så let som muligt (slippe af med komplekse input og operationer med dem), og derefter begynde at lede efter det rigtige svar.
Hvad kan man gøre for at forenkle? Konverter alle afledte operationer til simple. Åbn derefter alle beslagene (eller omvendt, tag den ud af beslagene for at forkorte dette element). Det næste trin bør være at anvende egenskaberne for boolsk algebra i praksis (absorption, egenskaberne nul og én osv.).
I sidste ende skal ligningen bestå af det mindste antal ubekendte kombineret med simple operationer. Den nemmeste måde at finde en løsning på er at opnå et stort antal tætte negativer. Så dukker svaret op som af sig selv.
