For at sige det enkelt og kort, så er omfanget de værdier, som enhver funktion kan tage. For fuldt ud at udforske dette emne skal du gradvist adskille følgende punkter og koncepter. Lad os først forstå definitionen af funktionen og historien om dens udseende.
Hvad er en funktion
Alle de eksakte videnskaber giver os mange eksempler, hvor de pågældende variabler på en eller anden måde afhænger af hinanden. For eksempel er massefylden af et stof fuldstændig bestemt af dets masse og volumen. Trykket af en ideel gas ved konstant volumen varierer med temperaturen. Disse eksempler forenes af det faktum, at alle formler har afhængigheder mellem variabler, som kaldes funktionelle.
En funktion er et begreb, der udtrykker en størrelses afhængighed af en anden. Den har formen y=f(x), hvor y er værdien af funktionen, som afhænger af x - argumentet. Således kan vi sige, at y er en variabel afhængig af værdien af x. Værdierne som x kan tage sammen erdomænet for den givne funktion (D(y) eller D(f)), og følgelig udgør værdierne af y sættet af funktionsværdier (E(f) eller E(y)). Der er tilfælde, hvor en funktion er givet af en formel. I dette tilfælde består definitionsdomænet af værdien af sådanne variable, hvor notationen med formlen giver mening.
Der er matchende eller lige funktioner. Dette er to funktioner, der har lige store intervaller af gyldige værdier, såvel som værdierne af selve funktionen er ens for alle de samme argumenter.
Mange love i de eksakte videnskaber er navngivet på samme måde som situationer i det virkelige liv. Der er også et interessant faktum om den matematiske funktion. Der er en sætning om grænsen for en funktion "sandwich" mellem to andre, der har samme grænse - om to politimænd. De forklarer det på denne måde: Da to politimænd fører en fange til en celle mellem dem, er forbryderen tvunget til at tage dertil, og han har simpelthen ikke noget valg.
Historisk funktionsreference
Begrebet en funktion blev ikke umiddelbart endeligt og præcist, det har gennemgået en lang vej at blive til. For det første udt alte Fermats Introduction and Study of Plane and Solid Places, udgivet i slutningen af det 17. århundrede, følgende:
Når der er to ubekendte i den endelige ligning, er der plads.
Generelt taler dette værk om funktionel afhængighed og dets materielle billede (sted=linje).
Også omkring samme tid studerede Rene Descartes linjerne ved deres ligninger i sit værk "Geometry" (1637), hvor igen det faktumafhængighed af to mængder af hinanden.
Selve omtalen af udtrykket "funktion" optrådte først i slutningen af det 17. århundrede med Leibniz, men ikke i dets moderne fortolkning. I sit videnskabelige arbejde mente han, at en funktion er forskellige segmenter forbundet med en buet linje.
Men allerede i det 18. århundrede begyndte funktionen at blive defineret mere korrekt. Bernoulli skrev følgende:
En funktion er en værdi sammensat af en variabel og en konstant.
Eulers tanker var også tæt på dette:
En variabel kvantitetsfunktion er et analytisk udtryk, der på en eller anden måde består af denne variable mængde og tal eller konstante mængder.
Når nogle mængder afhænger af andre på en sådan måde, at når sidstnævnte ændres, ændres de selv, så kaldes de førstnævnte funktioner af sidstnævnte.
Funktionsgraf
Funktionens graf består af alle punkter, der tilhører koordinatplanets akser, hvis abscisser tager værdierne af argumentet, og værdierne af funktionen i disse punkter er ordinater.
Omfanget af en funktion er direkte relateret til dens graf, for hvis nogen abscisser udelukkes af rækken af gyldige værdier, skal du tegne tomme punkter på grafen eller tegne grafen inden for visse grænser. For eksempel, hvis en graf med formen y=tgx tages, så er værdien x=pi / 2 + pin, n∉R udelukket fra definitionsområdet, i tilfælde af en tangentgraf skal du tegnelodrette linjer parallelt med y-aksen (de kaldes asymptoter), der går gennem punkterne ±pi/2.
Enhver grundig og omhyggelig undersøgelse af funktioner udgør en stor gren af matematikken kaldet calculus. I elementær matematik bliver elementære spørgsmål om funktioner også berørt, for eksempel at bygge en simpel graf og etablere nogle grundlæggende egenskaber for en funktion.
Hvilken funktion kan indstilles til
Funktion kan:
- være en formel, for eksempel: y=cos x;
- sat af enhver tabel med par af formen (x; y);
- have straks en grafisk visning, til dette skal parrene fra det foregående punkt i formen (x; y) vises på koordinatakserne.
Vær forsigtig, når du løser nogle problemer på højt niveau, næsten ethvert udtryk kan betragtes som en funktion med hensyn til et eller andet argument for værdien af funktionen y (x). At finde definitionsdomænet i sådanne opgaver kan være nøglen til løsningen.
Hvad er mulighederne for?
Det første, du skal vide om en funktion for at studere eller bygge den, er dens omfang. Grafen skal kun indeholde de punkter, hvor funktionen kan eksistere. Definitionsdomænet (x) kan også omtales som domænet med acceptable værdier (forkortet ODZ).
For korrekt og hurtigt at opbygge en graf af funktioner, skal du kende denne funktions domæne, fordi grafens udseende og pålidelighed afhænger af detkonstruktion. For at konstruere en funktion y=√x for eksempel, skal du vide, at x kun kan tage positive værdier. Derfor er den kun bygget i den første koordinatkvadrant.
Definitionsomfang på eksemplet med elementære funktioner
I sit arsenal har matematik et lille antal simple, definerede funktioner. De har et begrænset omfang. Løsningen på dette problem vil ikke give problemer, selvom du har en såkaldt kompleks funktion foran dig. Det er bare en kombination af flere simple.
- Så funktionen kan være brøk, for eksempel: f(x)=1/x. Variablen (vores argument) er således i nævneren, og alle ved, at nævneren for en brøk ikke kan være lig med 0, derfor kan argumentet have en hvilken som helst værdi undtagen 0. Notationen vil se således ud: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Hvis der er et udtryk med en variabel i nævneren, skal du løse ligningen for x og udelukke de værdier, der vender nævneren til 0. For en skematisk repræsentation er 5 velvalgte punkter nok. Grafen for denne funktion vil være en hyperbel med en lodret asymptote, der går gennem punktet (0; 0) og i kombination Ox- og Oy-akserne. Hvis det grafiske billede skærer asymptoterne, vil en sådan fejl blive betragtet som den groveste.
- Men hvad er rodens domæne? Domænet for en funktion med et radik alt udtryk (f(x)=√(2x + 5)), der indeholder en variabel, har også sine egne nuancer (gælder kun roden af en lige grad). Somden aritmetiske rod er et positivt udtryk eller lig med 0, så skal rodudtrykket være større end eller lig med 0, vi løser følgende ulighed: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, derfor er domænet for denne funktion: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Grafen er en af grenene af en parabel, roteret 90 grader, placeret i den første koordinatkvadrant.
- Hvis vi har at gøre med en logaritmisk funktion, så skal du huske, at der er en begrænsning med hensyn til logaritmens basis og udtrykket under logaritmens fortegn, i dette tilfælde kan du finde definitionsdomænet som følger. Vi har en funktion: y=loga(x + 7), vi løser uligheden: x + 7 > 0, x > -7. Så er denne funktions domæne D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Vær også opmærksom på trigonometriske funktioner på formen y=tgx og y=ctgx, da y=tgx=sinx/cos/x og y=ctgx=cosx/sinx, derfor skal du udelukke værdier hvor nævneren kan være lig nul. Hvis du er fortrolig med graferne for trigonometriske funktioner, er det en simpel opgave at forstå deres domæne.
Hvordan er det forskelligt at arbejde med komplekse funktioner
Husk et par grundlæggende regler. Hvis vi arbejder med en kompleks funktion, så er der ingen grund til at løse noget, forenkle, tilføje brøker, reducere til laveste fællesnævner og udtrække rødder. Vi skal undersøge denne funktion, fordi forskellige (selv identiske) operationer kan ændre funktionens omfang, hvilket resulterer i et forkert svar.
Vi har for eksempel en kompleks funktion: y=(x2 - 4)/(x - 2). Vi kan ikke reducere brøkens tæller og nævner, da dette kun er muligt, hvis x ≠ 2, og det er opgaven med at finde funktionens domæne, så vi faktoriserer ikke tælleren og løser ingen uligheder, fordi værdi, hvor funktionen ikke eksisterer, synlig for det blotte øje. I dette tilfælde kan x ikke påtage sig værdien 2, da nævneren ikke kan gå til 0, vil notationen se således ud: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Gensidige funktioner
For det første er det værd at sige, at en funktion kun kan blive reversibel ved et interval med stigning eller fald. For at finde den inverse funktion skal du bytte x og y i notationen og løse ligningen for x. Definitionsdomæner og værdidomæner er simpelthen omvendt.
Hovedbetingelsen for reversibilitet er et monotont interval af en funktion, hvis en funktion har intervaller med stigning og fald, så er det muligt at sammensætte den inverse funktion af et hvilket som helst interval (stigende eller faldende).
For eksempel, for eksponentialfunktionen y=ex, er den reciproke den naturlige logaritmiske funktion y=logea=lna. For trigonometri vil disse være funktioner med præfikset arc-: y=sinx og y=arcsinx og så videre. Grafer vil blive placeret symmetrisk i forhold til nogle akser eller asymptoter.
Konklusioner
Søgning efter intervallet af acceptable værdier kommer ned til at undersøge grafen over funktioner (hvis der er en),registrering og løsning af det nødvendige specifikke system af uligheder.
Så denne artikel hjalp dig med at forstå, hvad rækkevidden af en funktion er til, og hvordan du finder den. Vi håber, at det vil hjælpe dig til at forstå grundskoleforløbet godt.
