Funktion og studiet af dens funktioner er et af nøglekapitlerne i moderne matematik. Hovedkomponenten i enhver funktion er grafer, der ikke kun viser dens egenskaber, men også parametrene for derivatet af denne funktion. Lad os tage et kig på dette vanskelige emne. Så hvad er den bedste måde at finde maksimum og minimum point for en funktion?
Funktion: Definition
Enhver variabel, der på en eller anden måde afhænger af værdierne af en anden værdi, kan kaldes en funktion. For eksempel er funktionen f(x2) kvadratisk og bestemmer værdierne for hele mængden x. Lad os sige, at x=9, så vil værdien af vores funktion være lig med 92=81.
Funktioner findes i mange forskellige typer: logisk, vektor, logaritmisk, trigonometrisk, numerisk og andre. Sådanne fremragende hjerner som Lacroix, Lagrange, Leibniz og Bernoulli var engageret i deres undersøgelse. Deres skrifter tjener som et bolværk i moderne måder at studere funktioner på. Før du finder minimumspointene, er det meget vigtigt at forstå selve betydningen af funktionen og dens afledte.
Afledten og dens rolle
Alle funktioner er indeafhængig af deres variable værdier, hvilket betyder, at de kan ændre deres værdi til enhver tid. På grafen vil dette blive afbildet som en kurve, der enten falder eller stiger langs y-aksen (dette er hele sættet af "y"-tal langs lodret af grafen). Og så er definitionen af et punkt med et maksimum og et minimum af funktion bare forbundet med disse "svingninger". Lad os forklare, hvad dette forhold er.
Den afledte funktion af enhver funktion tegnes på en graf for at studere dens hovedkarakteristika og beregne, hvor hurtigt funktionen ændrer sig (dvs. ændrer dens værdi afhængigt af variablen "x"). I det øjeblik, hvor funktionen stiger, vil grafen for dens afledte også stige, men i et hvilket som helst sekund kan funktionen begynde at falde, og derefter vil grafen for den afledede falde. De punkter, hvor den afledte går fra minus til plus kaldes minimumspoint. For at vide, hvordan man finder minimumspointene, bør du bedre forstå begrebet afledet.
Hvordan beregnes den afledte værdi?
Definition og beregning af den afledede af en funktion indebærer flere begreber fra differentialregning. Generelt kan selve definitionen af den afledede udtrykkes som følger: dette er den værdi, der viser funktionens ændringshastighed.
Matematisk måde at bestemme det på for mange elever virker kompliceret, men faktisk er alt meget enklere. Du skal bare følge medstandardplan for at finde den afledede af enhver funktion. Det følgende beskriver, hvordan du kan finde minimumspunktet for en funktion uden at anvende reglerne for differentiering og uden at huske tabellen med afledte værdier.
- Du kan beregne den afledede af en funktion ved hjælp af en graf. For at gøre dette skal du afbilde selve funktionen, derefter tage et punkt på den (punkt A i fig.) Tegn en linje lodret ned til abscisse-aksen (punkt x0), og ved punkt A tegne en tangent til funktionsgrafik. Abscisseaksen og tangenten danner en vinkel a. For at beregne værdien af, hvor hurtigt funktionen stiger, skal du beregne tangenten af denne vinkel a.
- Det viser sig, at tangenten til vinklen mellem tangenten og retningen af x-aksen er den afledede af funktionen i et lille område med punktet A. Denne metode betragtes som en geometrisk måde at bestemme den afledede på..
Metoder til at undersøge en funktion
I skolens læreplan for matematik er det muligt at finde minimumspunktet for en funktion på to måder. Vi har allerede analyseret den første metode ved hjælp af grafen, men hvordan bestemmer man den numeriske værdi af den afledte? For at gøre dette skal du lære flere formler, der beskriver egenskaberne af den afledede og hjælper med at konvertere variabler som "x" til tal. Følgende metode er universel, så den kan anvendes på næsten alle slags funktioner (både geometriske og logaritmiske).
- Det er nødvendigt at sidestille funktionen med den afledte funktion og derefter forenkle udtrykket ved hjælp af reglernedifferentiering.
- dividere med nul).
- Derefter skal du konvertere den oprindelige form af funktionen til en simpel ligning, der ligestiller hele udtrykket til nul. For eksempel, hvis funktionen så sådan ud: f(x)=2x3+38x, så er dens afledte ifølge reglerne for differentiering lig med f'(x)=3x 2 +1. Derefter transformerer vi dette udtryk til en ligning med følgende form: 3x2+1=0.
- Efter at have løst ligningen og fundet punkterne "x", skal du tegne dem på x-aksen og afgøre, om den afledede i disse områder mellem de markerede punkter er positiv eller negativ. Efter betegnelsen vil det blive klart, på hvilket tidspunkt funktionen begynder at falde, det vil sige, at den skifter fortegn fra minus til det modsatte. Det er på denne måde, du kan finde både minimum og maksimum point.
Differentieringsregler
Den mest grundlæggende del af at lære en funktion og dens afledte er at kende reglerne for differentiering. Kun med deres hjælp er det muligt at transformere besværlige udtryk og store komplekse funktioner. Lad os stifte bekendtskab med dem, der er ret mange af dem, men de er alle meget enkle på grund af de regulære egenskaber for både potens og logaritmiske funktioner.
- Den afledte af enhver konstant er nul (f(x)=0). Det vil sige, at den afledte f(x)=x5+ x - 160 vil have følgende form: f' (x)=5x4+1.
- Den afledede af summen af to led: (f+w)'=f'w + fw'.
- Afledt af en logaritmisk funktion: (logad)'=d/ln ad. Denne formel gælder for alle slags logaritmer.
- Afledt grad: (x)'=nxn-1. For eksempel (9x2)'=92x=18x.
- Afledt af en sinusformet funktion: (sin a)'=cos a. Hvis sin af vinklen a er 0,5, så er dens afledte √3/2.
Ekstreme point
Vi har allerede fundet ud af, hvordan man finder minimumspointene, men der er konceptet med maksimumpoint for en funktion. Hvis minimum angiver de punkter, hvor funktionen går fra minus til plus, så er maksimumpunkterne de punkter på x-aksen, hvor den afledede af funktionen skifter fra plus til det modsatte - minus.
Du kan finde de maksimale point ved hjælp af metoden beskrevet ovenfor, kun det skal tages i betragtning, at de angiver de områder, hvor funktionen begynder at falde, dvs. den afledede vil være mindre end nul.
I matematik er det sædvanligt at generalisere begge begreber ved at erstatte dem med udtrykket "ekstremum point". Når opgaven beder om at bestemme disse punkter, betyder det, at det er nødvendigt at beregne den afledede af denne funktion og finde minimums- og maksimumpointene.
