Undersøgelsen af funktioner og deres grafer er et emne, som vies særlig opmærksomhed inden for rammerne af gymnasiets læseplan. Nogle basale elementer i matematisk analyse - differentiering - indgår i profilniveauet for eksamen i matematik. Nogle skolebørn har problemer med dette emne, da de forveksler graferne for funktionen og den afledte og også glemmer algoritmerne. Denne artikel vil dække hovedtyperne af opgaver, og hvordan de løses.
Hvad er funktionsværdien?
En matematisk funktion er en speciel ligning. Det etablerer en sammenhæng mellem tal. Funktionen afhænger af værdien af argumentet.
Værdien af funktionen beregnes i henhold til den givne formel. For at gøre dette skal du erstatte ethvert argument, der svarer til rækken af gyldige værdier i denne formel i stedet for x og udføre de nødvendige matematiske operationer. Hvad?
Hvordan kan du finde den mindste værdi af en funktion,bruger du en graffunktion?
Grafisk repræsentation af en funktions afhængighed af et argument kaldes en funktionsgraf. Den er bygget på et plan med et bestemt enhedssegment, hvor værdien af en variabel eller et argument er plottet langs den vandrette abscisse-akse, og den tilsvarende funktionsværdi langs den lodrette ordinatakse.
Jo større værdien af argumentet er, jo mere til højre ligger det på grafen. Og jo større værdien af selve funktionen er, jo højere er punktet.
Hvad står der? Funktionens mindste værdi vil være det punkt, der ligger lavest på grafen. For at finde det på et diagramsegment skal du bruge:
1) Find og markér enderne af dette segment.
2) Bestem visuelt, hvilket punkt på dette segment der ligger lavest.
3) Skriv som svar dens numeriske værdi, som kan bestemmes ved at projicere et punkt på y-aksen.
Ekstreme point på derivatdiagrammet. Hvor skal man lede?
Men når man løser problemer, gives nogle gange en graf ikke af en funktion, men af dens afledede. For at undgå ved et uheld at lave en dum fejl, er det bedre at læse betingelserne omhyggeligt, da det afhænger af, hvor du skal lede efter ekstreme punkter.
Så den afledede er den øjeblikkelige stigningshastighed for funktionen. Ifølge den geometriske definition svarer den afledede til hældningen af tangenten, som er tegnet direkte til det givne punkt.
Det er kendt, at ved yderpunkterne er tangenten parallel med Ox-aksen. Det betyder, at dens hældning er 0.
Heraf kan vi konkludere, at ved ekstremumpunkterne ligger den afledte på x-aksen eller forsvinder. Men derudover ændrer funktionen på disse punkter sin retning. Det vil sige, efter en stigningsperiode begynder det at falde, og derivatet ændres derfor fra positivt til negativt. Eller omvendt.
Hvis den afledede bliver negativ fra positiv, er dette maksimumpunktet. Hvis fra negativ bliver det positivt - minimumspunktet.
Vigtigt: Hvis du skal angive et minimum- eller maksimumpunkt i opgaven, skal du som svar skrive den tilsvarende værdi langs abscisseaksen. Men hvis du skal finde værdien af funktionen, skal du først erstatte den tilsvarende værdi af argumentet i funktionen og beregne den.
Hvordan finder man ekstremumpunkter ved hjælp af afledte?
De overvejede eksempler refererer hovedsageligt til opgave nummer 7 i eksamen, som involverer at arbejde med en graf af en afledt eller en antiafledning. Men opgave 12 i USE - at finde den mindste værdi af en funktion på et segment (nogle gange den største) - udføres uden tegninger og kræver grundlæggende færdigheder i matematisk analyse.
For at udføre det, skal du være i stand til at finde ekstremumpunkter ved hjælp af den afledede. Algoritmen til at finde dem er som følger:
- Find den afledede af en funktion.
- Sæt den til nul.
- Find rødderne til ligningen.
- Tjek, om de opnåede punkter er ekstremum- eller bøjningspunkter.
For at gøre dette skal du tegne et diagram og viderede resulterende intervaller bestemmer fortegnene for den afledede ved at substituere de tal, der hører til segmenterne, i den afledede. Hvis du, når du løser ligningen, fik rødder af dobbelt multiplicitet, er disse bøjningspunkter.
Anvend sætningerne og bestem, hvilke point der er minimum og hvilke der er maksimum
Beregn den mindste værdi af en funktion ved hjælp af en afledet
Men efter at have udført alle disse handlinger, vil vi finde værdierne for minimum- og maksimumpunkterne langs x-aksen. Men hvordan finder man den mindste værdi af en funktion på et segment?
Hvad skal der gøres for at finde det tal, der svarer til funktionen på et bestemt punkt? Du skal erstatte værdien af argumentet i denne formel.
Punkter med minimum og maksimum svarer til den mindste og største værdi af funktionen på segmentet. Så for at finde værdien af funktionen skal du beregne funktionen ved hjælp af de opnåede x-værdier.
Vigtigt! Hvis opgaven kræver, at du angiver et minimums- eller maksimumpunkt, skal du som svar skrive den tilsvarende værdi langs x-aksen. Men hvis du skal finde værdien af funktionen, skal du først erstatte den tilsvarende værdi af argumentet i funktionen og udføre de nødvendige matematiske operationer.
Hvad skal jeg gøre, hvis der ikke er nogen lavpunkter i dette segment?
Men hvordan finder man den mindste værdi af en funktion på et segment uden ekstremumpunkter?
Dette betyder, at funktionen monotont mindskes eller øges på den. Derefter skal du erstatte værdien af yderpunkterne i dette segment i funktionen. Der er to måder.
1) Efter at have beregnetafledet og de intervaller, hvorpå den er positiv eller negativ, for at konkludere, om funktionen er faldende eller stigende på et givet segment.
I overensstemmelse med dem, indsæt en større eller mindre værdi af argumentet i funktionen.
2) Du skal blot erstatte begge punkter i funktionen og sammenligne de resulterende funktionsværdier.
I hvilke opgaver er det valgfrit at finde derivatet
Som regel skal du i USE-tildelingerne stadig finde den afledede. Der er kun et par undtagelser.
1) Parabel.
Parablens toppunkt findes ved formlen.
Hvis en < 0, så er grenene af parablen rettet nedad. Og dets højdepunkt er det maksimale punkt.
Hvis en > 0, så er grenene af parablen rettet opad, toppunktet er minimumspunktet.
Når du har beregnet parablens toppunkt, skal du erstatte dens værdi i funktionen og beregne den tilsvarende værdi af funktionen.
2) Funktion y=tg x. Eller y=ctg x.
Disse funktioner er monotont stigende. Derfor, jo større værdien af argumentet er, jo større er værdien af selve funktionen. Dernæst vil vi se på, hvordan man finder den største og mindste værdi af en funktion på et segment med eksempler.
Hovedtyper af opgaver
Opgave: den største eller mindste værdi af funktionen. Eksempel på diagrammet.
På billedet ser du grafen for den afledede af funktionen f (x) på intervallet [-6; 6]. På hvilket tidspunkt af segmentet [-3; 3] f(x) tager den mindste værdi?
Så til at begynde med bør du vælge det angivne segment. På den tager funktionen én gang en nulværdi og ændrer sit fortegn - dette er ekstremumpunktet. Da den afledte fra negativ bliver positiv, betyder det, at dette er minimumspunktet for funktionen. Dette punkt svarer til værdien af argumentet 2.
Svar: 2.
Fortsæt med at se på eksempler. Opgave: find den største og mindste værdi af funktionen på segmentet.
Find den mindste værdi af funktionen y=(x - 8) ex-7 på intervallet [6; 8].
1. Tag den afledede af en kompleks funktion.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Sæt lighedstegn mellem den resulterende afledede med nul og løs ligningen.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, eller ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, ingen rødder
3. Indsæt værdien af yderpunkterne i funktionen, såvel som de opnåede rødder af ligningen.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Svar: -1.
Så i denne artikel blev hovedteorien overvejet om, hvordan man finder den mindste værdi af en funktion på et segment, hvilket er nødvendigt for succesfuld løsning af USE-opgaver i specialiseret matematik. Også elementer af matematiskeanalyser bruges ved løsning af opgaver fra del C af eksamen, men de repræsenterer naturligvis et andet kompleksitetsniveau, og algoritmerne for deres løsninger er svære at passe ind i rammen af ét materiale.
