Evnen til at arbejde med numeriske udtryk, der indeholder en kvadratrod, er nødvendig for en vellykket løsning af en række problemer fra OGE og USE. I disse eksamener er det norm alt tilstrækkeligt med en grundlæggende forståelse af, hvad rodudvinding er, og hvordan det udføres i praksis.
Definition
Den n-te rod af et tal X er et tal x, for hvilket ligheden er sand: xn =X.
At finde værdien af et udtryk med en rod betyder at finde x givet X og n.
Kvadratroden eller, som er den samme, den anden rod af X - tallet x, som ligheden er opfyldt for: x2 =X.
Betegnelse: ∛Х. Her er 3 graden af roden, X er grundudtrykket. Tegnet '√' kaldes ofte en radikal.
Hvis tallet over roden ikke angiver graden, er standardgraden 2.
I et skoleforløb for lige grader tages der norm alt ikke hensyn til negative rødder og radikale udtryk. For eksempel er der ingen√-2, og for udtrykket √4 er det rigtige svar 2, på trods af at (-2)2 også er lig med 4.
Rationalitet og irrationalitet af rødder
Den enklest mulige opgave med en rod er at finde værdien af et udtryk eller teste det for rationalitet.
Beregn f.eks. værdierne √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 fordi 52 =25;
- ∛8=2 fordi 23 =8;
- ∛ - 125=-5 siden (-5)3 =-125.
Svarene i de givne eksempler er rationelle tal.
Når du arbejder med udtryk, der ikke indeholder bogstavelige konstanter og variabler, anbefales det altid at udføre en sådan kontrol ved at bruge den omvendte operation med at hæve til en naturlig potens. At finde tallet x i n. potens svarer til at beregne produktet af n faktorer af x.
Der er mange udtryk med en rod, hvis værdi er irrationel, det vil sige skrevet som en uendelig ikke-periodisk brøk.
Rationaler er pr. definition dem, der kan udtrykkes som en fælles brøk, og irrationaler er alle andre reelle tal.
Disse omfatter √24, √0, 1, √101.
Hvis der står i opgavebogen: find værdien af udtrykket med en rod på 2, 3, 5, 6, 7 osv., det vil sige fra de naturlige tal, der ikke er indeholdt i kvadrattabellen, så er det rigtige svar √ 2 kan være til stede (medmindre andet er angivet).
Vurdering
I problemer medet åbent svar, hvis det er umuligt at finde værdien af et udtryk med en rod og skrive det som et rationelt tal, skal resultatet stå som et radikal.
Nogle opgaver kræver muligvis evaluering. Sammenlign for eksempel 6 og √37. Løsningen kræver, at man skal kvadrere begge tal og sammenligne resultaterne. Af to tal er det ene, hvis kvadrat er større, større. Denne regel virker for alle positive tal:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- betyder √37 > 6.
På samme måde løses problemer, hvor flere tal skal arrangeres i stigende eller faldende rækkefølge.
Eksempel: Arranger 5, √6, √48, √√64 i stigende rækkefølge.
Efter kvadrering har vi: 25, 6, 48, √64. Man kunne kvadrere alle tallene igen for at sammenligne dem med √64, men det er lig med det rationelle tal 8. 6 < 8 < 25 < 48, så løsningen er: 48.
Forenkling af udtrykket
Det sker, at det er umuligt at finde værdien af et udtryk med en rod, så det skal forenkles. Følgende formel hjælper med dette:
√ab=√a√b.
Roden af produktet af to tal er lig med produktet af deres rødder. Denne operation kræver også evnen til at faktorisere et tal.
I den indledende fase, for at fremskynde arbejdet, anbefales det at have en tabel med primtal og firkanter ved hånden. Disse tabeller med hyppigebrug i fremtiden vil blive husket.
For eksempel, √242 er et irrationelt tal, du kan konvertere det sådan her:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Norm alt skrives resultatet som 11√2 (læs: elleve rødder ud af to).
Hvis det er svært umiddelbart at se, hvilke to faktorer et tal skal dekomponeres til, så en naturlig rod kan udvindes fra en af dem, kan du bruge den fulde dekomponering til primfaktorer. Hvis det samme primtal forekommer to gange i udvidelsen, tages det ud af rodtegnet. Når der er mange faktorer, kan du udtrække roden i flere trin.
Eksempel: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Tallet 2 forekommer i udvidelsen 2 gange (faktisk mere end to gange, men vi er stadig interesserede i de første to forekomster i udvidelsen).
Vi tager det ud under rodtegnet:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Gentag den samme handling:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
I det resterende radikale udtryk forekommer 2 og 3 én gang, så det er tilbage at tage faktoren 5 ud:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
og udfør aritmetiske operationer:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Så vi får √2400=20√6.
Hvis opgaven ikke udtrykkeligt siger: "find værdien af udtrykket med en kvadratrod", så valget,i hvilken form man skal lade svaret (om man skal udtrække roden fra under det radikale) forbliver hos eleven og kan afhænge af, at problemet bliver løst.
I første omgang stilles der høje krav til udformning af opgaver, beregningen, herunder mundtlig eller skriftlig, uden brug af tekniske midler.
Først efter en god beherskelse af reglerne for at arbejde med irrationelle numeriske udtryk, giver det mening at gå videre til sværere bogstavelige udtryk og til at løse irrationelle ligninger og beregne rækken af mulige værdier for udtrykket under radikal.
Studenter støder på denne type problemer ved Unified State-eksamenen i matematik såvel som i det første år på specialiserede universiteter, når de studerer matematisk analyse og relaterede discipliner.
