Algebraiske uligheder eller deres systemer med rationelle koefficienter, hvis løsninger søges i heltal eller heltal. Som regel er antallet af ukendte i diophantiske ligninger større. Således er de også kendt som ubestemte uligheder. I moderne matematik anvendes ovenstående begreb på algebraiske ligninger, hvis løsninger søges i algebraiske heltal i en eller anden udvidelse af feltet for Q-rationelle variable, feltet for p-adiske variable osv.
Oprindelsen af disse uligheder
Undersøgelsen af de diofantiske ligninger er på grænsen mellem t alteori og algebraisk geometri. At finde løsninger i heltalsvariable er et af de ældste matematiske problemer. Allerede i begyndelsen af det andet årtusinde f. Kr. det lykkedes de gamle babyloniere at løse ligningssystemer med to ubekendte. Denne gren af matematik blomstrede mest i det antikke Grækenland. Diophantus' aritmetik (ca. 3. århundrede e. Kr.) er en væsentlig og hovedkilde, der indeholder forskellige typer og ligningssystemer.
I denne bog forudså Diophantus en række metoder til at studere ulighederne i anden og tredjegrader, der var fuldt udviklede i det 19. århundrede. Oprettelsen af teorien om rationelle tal af denne forsker i det antikke Grækenland førte til analysen af logiske løsninger på ubestemte systemer, som systematisk følges i hans bog. Selvom hans arbejde indeholder løsninger til specifikke diofantiske ligninger, er der grund til at tro, at han også var bekendt med flere generelle metoder.
Undersøgelsen af disse uligheder er norm alt forbundet med alvorlige vanskeligheder. På grund af det faktum, at de indeholder polynomier med heltalskoefficienter F (x, y1, …, y). Baseret på dette blev der draget konklusioner om, at der ikke er en enkelt algoritme, der kunne bruges til at bestemme for et givet x, om ligningen F (x, y1, …., y ). Situationen kan løses for y1, …, y . Eksempler på sådanne polynomier kan skrives.
Den enkleste ulighed
ax + by=1, hvor a og b er relativt heltal og primtal, har det et stort antal udførelser (hvis x0, y0 resultatet dannes, derefter parret af variable x=x0 + b og y=y0 -an, hvor n er vilkårlig, vil også blive betragtet som en ulighed). Et andet eksempel på diofantiske ligninger er x2 + y2 =z2. De positive integralløsninger af denne ulighed er længderne af de små sider x, y og retvinklede trekanter, samt hypotenusen z med heltal sidedimensioner. Disse tal er kendt som Pythagoras tal. Alle trillinger med hensyn til prime angivetovenstående variabler er givet ved x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, hvor m og n er heltal og primtal (m>n>0).
Diophantus søger i sin aritmetik efter rationelle (ikke nødvendigvis integrerede) løsninger af særlige typer af hans uligheder. En generel teori til løsning af diofantiske ligninger af første grad blev udviklet af C. G. Baschet i det 17. århundrede. Andre videnskabsmænd i begyndelsen af det 19. århundrede studerede hovedsageligt lignende uligheder som ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, hvor a, b, c, d, e og f er generelle, heterogene med to ubekendte af anden grad. Lagrange brugte fortsatte fraktioner i sin undersøgelse. Gauss for kvadratiske former udviklede en generel teori, der ligger til grund for nogle typer løsninger.
I undersøgelsen af disse andengrads uligheder blev der først gjort betydelige fremskridt i det 20. århundrede. A. Thue fandt ud af, at den diofantiske ligning a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, hvor n≧3, a0, …, a , c er heltal, og a0tn + …+ a kan ikke have et uendeligt antal heltalsløsninger. Thues metode var dog ikke ordentligt udviklet. A. Baker skabte effektive teoremer, der giver estimater for ydeevnen af nogle ligninger af denne art. BN Delaunay foreslog en anden undersøgelsesmetode gældende for en snævrere klasse af disse uligheder. Især formen ax3 + y3 =1 er fuldstændigt opløselig på denne måde.
Diofantiske ligninger: løsningsmetoder
Teorien om Diophantus har mange retninger. Et velkendt problem i dette system er således hypotesen om, at der ikke er nogen ikke-triviel løsning af de diofantiske ligninger xn + y =z n if n ≧ 3 (Fermats spørgsmål). Studiet af heltals opfyldelse af uligheden er en naturlig generalisering af problemet med pythagoræiske trillinger. Euler opnåede en positiv løsning af Fermats problem for n=4. I kraft af dette resultat refererer det til beviset for det manglende heltal, ikke-nul undersøgelser af ligningen, hvis n er et ulige primtal.
Undersøgelsen vedrørende beslutningen er ikke afsluttet. Vanskelighederne med dens implementering er relateret til det faktum, at den simple faktorisering i ringen af algebraiske heltal ikke er unik. Teorien om divisorer i dette system for mange klasser af prime eksponenter n gør det muligt at bekræfte gyldigheden af Fermats sætning. Således er den lineære diofantiske ligning med to ubekendte opfyldt af de eksisterende metoder og måder.
Typer og typer af beskrevne opgaver
Aritmetik af ringe af algebraiske heltal bruges også i mange andre problemer og løsninger af diofantiske ligninger. Sådanne metoder blev f.eks. anvendt ved opfyldelse af uligheder på formen N(a1 x1 +…+ a x)=m, hvor N(a) er normen for a, og x1, …, xn integral rationelle variabler findes. Denne klasse inkluderer Pell-ligningen x2–dy2=1.
Værdierne a1, …, a , der vises, er disse ligninger opdelt i to typer. Den første type - de såkaldte komplette former - omfatter ligninger, hvor der blandt a er m lineært uafhængige tal over feltet af rationelle variable Q, hvor m=[Q(a1, …, a):Q], hvori der er en grad af algebraiske eksponenter Q (a1, …, a ) over Q. Ufuldstændige arter er dem i hvor det maksimale antal af a i er mindre end m.
Fulde formularer er enklere, deres undersøgelse er komplet, og alle løsninger kan beskrives. Den anden type, ufuldstændige arter, er mere kompliceret, og udviklingen af en sådan teori er endnu ikke afsluttet. Sådanne ligninger studeres ved hjælp af diofantiske tilnærmelser, som inkluderer uligheden F(x, y)=C, hvor F (x, y) er et irreducerbart, homogent polynomium af grad n≧3. Vi kan således antage, at yi→∞. Følgelig, hvis yi er stor nok, så vil uligheden modsige Thue, Siegel og Roths sætning, hvoraf det følger, at F(x, y)=C, hvor F er en form af tredje grad eller derover, kan det irreducible ikke have et uendeligt antal løsninger.
Hvordan løser man en diofantligning?
Dette eksempel er en ret snæver klasse blandt alle. For eksempel, på trods af deres enkelhed, x3 + y3 + z3=N, og x2 +y 2 +z2 +u2 =N er ikke inkluderet i denne klasse. Studiet af løsninger er en ret nøje undersøgt gren af diofantiske ligninger, hvor grundlaget er repræsentationen ved andengradsformer af tal. Lagrangeskabt en sætning, der siger, at opfyldelsen eksisterer for alt naturligt N. Ethvert naturligt tal kan repræsenteres som summen af tre kvadrater (Gauss' sætning), men det bør ikke have formen 4a (8K- 1), hvor a og k er ikke-negative heltalseksponenter.
Rationelle eller integrale løsninger til et system af en diofantisk ligning af typen F (x1, …, x)=a, hvor F (x 1, …, x) er en kvadratisk form med heltalskoefficienter. Ifølge Minkowski-Hasse-sætningen er uligheden ∑aijxixj=b ijifølge Minkowski-Hasse-sætningen og b er rationel, har en integralløsning i reelle og p-adiske tal for hvert primtal p kun, hvis det er løseligt i denne struktur.
På grund af de iboende vanskeligheder er studiet af tal med vilkårlige former af tredje grad og derover blevet undersøgt i mindre grad. Den vigtigste udførelsesmetode er metoden med trigonometriske summer. I dette tilfælde er antallet af løsninger til ligningen eksplicit skrevet i form af Fourier-integralet. Derefter bruges miljømetoden til at udtrykke antallet af opfyldelse af uligheden af de tilsvarende kongruenser. Metoden til trigonometriske summer afhænger af de algebraiske træk ved ulighederne. Der er et stort antal elementære metoder til løsning af lineære diofantiske ligninger.
Diophantine analysis
Matematikafdelingen, hvis emne er studiet af integrale og rationelle løsninger af algebras ligninger ved hjælp af geometriske metoder, fra sammekugler. I anden halvdel af det 19. århundrede førte fremkomsten af denne t alteori til studiet af de diofantiske ligninger fra et vilkårligt felt med koefficienter, og løsninger blev overvejet enten i det eller i dets ringe. Systemet af algebraiske funktioner udviklede sig parallelt med tal. Den grundlæggende analogi mellem de to, som blev fremhævet af D. Hilbert og især L. Kronecker, førte til en ensartet konstruktion af forskellige regnebegreber, som norm alt kaldes globale.
Dette er især bemærkelsesværdigt, hvis de algebraiske funktioner, der undersøges over et begrænset felt af konstanter, er én variabel. Begreber som klassefeltteori, divisor og forgrening og resultater er en god illustration af ovenstående. Dette synspunkt blev først senere overtaget i systemet med diofantiske uligheder, og systematisk forskning ikke kun med numeriske koefficienter, men også med koefficienter, der er funktioner, begyndte først i 1950'erne. En af de afgørende faktorer i denne tilgang var udviklingen af algebraisk geometri. Den samtidige undersøgelse af felterne tal og funktioner, der opstår som to lige vigtige aspekter af samme emne, gav ikke blot elegante og overbevisende resultater, men førte til gensidig berigelse af de to emner.
I algebraisk geometri erstattes begrebet varietet af et ikke-invariant sæt af uligheder over et givet felt K, og deres løsninger erstattes af rationelle punkter med værdier i K eller i dets endelige forlængelse. Man kan derfor sige, at det grundlæggende problem med diofantinsk geometri er studiet af rationelle punkteraf en algebraisk mængde X(K), mens X er bestemte tal i feltet K. Heltalsudførelse har en geometrisk betydning i lineære diofantiske ligninger.
Ulighedsundersøgelser og udførelsesmuligheder
Når man studerer rationelle (eller integrerede) punkter på algebraiske varianter, opstår det første problem, som er deres eksistens. Hilberts tiende problem er formuleret som problemet med at finde en generel metode til at løse dette problem. I processen med at skabe en nøjagtig definition af algoritmen og efter at det blev bevist, at der ikke er sådanne henrettelser for et stort antal problemer, fik problemet et åbenlyst negativt resultat, og det mest interessante spørgsmål er definitionen af klasser af diofantiske ligninger som ovenstående system eksisterer for. Den mest naturlige tilgang, set fra et algebraisk synspunkt, er det såkaldte Hasse-princip: startfeltet K studeres sammen med dets afslutninger Kv over alle mulige estimater. Da X(K)=X(Kv) er en nødvendig betingelse for at eksistere, og K-punktet tager højde for, at mængden X(Kv) er ikke tom for alle v.
Vigtigheden ligger i, at den samler to problemer. Den anden er meget enklere, den kan løses med en kendt algoritme. I det særlige tilfælde, hvor sorten X er projektiv, gør Hans lemma og dets generaliseringer yderligere reduktion mulig: problemet kan reduceres til studiet af rationelle punkter over et begrænset felt. Så beslutter han sig for at bygge et koncept enten gennem konsekvent forskning eller mere effektive metoder.
Sidsteen vigtig overvejelse er, at mængderne X(Kv) er ikke-tomme for alle undtagen et endeligt antal v, så antallet af betingelser er altid endeligt, og de kan testes effektivt. Hasses princip gælder dog ikke for gradkurver. For eksempel har 3x3 + 4y3=5 point i alle p-adiske talfelter og i et system af reelle tal, men har ingen rationelle punkter.
Denne metode tjente som udgangspunkt for at konstruere et koncept, der beskriver klasserne af de vigtigste homogene rum af Abelske varianter for at udføre en "afvigelse" fra Hasse-princippet. Det er beskrevet i form af en speciel struktur, der kan forbindes med hver manifold (Tate-Shafarevich-gruppe). Teoriens største vanskelighed ligger i, at metoder til beregning af grupper er svære at opnå. Dette koncept er også blevet udvidet til andre klasser af algebraiske varianter.
Søg efter en algoritme til opfyldelse af uligheder
En anden heuristisk idé brugt i studiet af diofantiske ligninger er, at hvis antallet af variable involveret i et sæt af uligheder er stort, så har systemet norm alt en løsning. Dette er dog meget vanskeligt at bevise for et bestemt tilfælde. Den generelle tilgang til problemer af denne type bruger analytisk t alteori og er baseret på estimater for trigonometriske summer. Denne metode blev oprindeligt anvendt på specielle slags ligninger.
Men senere blev det bevist med dens hjælp, at hvis formen af en ulige grad er F, i dog n variable og med rationelle koefficienter, så er n stor nok i forhold til d, så den projektive hyperflade F=0 har et rationelt punkt. Ifølge Artins formodning er dette resultat sandt, selvom n > d2. Dette er kun blevet bevist for kvadratiske former. Lignende problemer kan også stilles til andre felter. Det centrale problem med diofantinsk geometri er strukturen af sættet af heltal eller rationelle punkter og deres undersøgelse, og det første spørgsmål, der skal afklares, er, om dette sæt er endeligt. I dette problem har situationen norm alt et begrænset antal henrettelser, hvis graden af systemet er meget større end antallet af variable. Dette er den grundlæggende antagelse.
Uligheder på linjer og kurver
Gruppen X(K) kan repræsenteres som en direkte sum af en fri struktur med rang r og en endelig gruppe af orden n. Siden 1930'erne har man undersøgt spørgsmålet om, hvorvidt disse tal er afgrænset på sættet af alle elliptiske kurver over et givet felt K. Afgrænsningen af torsionen n blev påvist i halvfjerdserne. Der er kurver af vilkårlig høj rang i det funktionelle tilfælde. I det numeriske tilfælde er der stadig intet svar på dette spørgsmål.
Til sidst siger Mordells formodning, at antallet af integralpunkter er begrænset for en kurve af slægten g>1. I det funktionelle tilfælde blev dette koncept demonstreret af Yu. I. Manin i 1963. Det vigtigste værktøj, der bruges til at bevise endelighedsteoremer i diofantinsk geometri, er højden. Af de algebraiske varianter er dimensionerne over en abelskemanifolder, som er de multidimensionelle analoger af elliptiske kurver, har været de mest grundigt undersøgte.
A. Weil generaliserede teoremet om endeligheden af antallet af generatorer af en gruppe af rationelle punkter til Abelske varianter af enhver dimension (Mordell-Weil-konceptet) og udvidede det. I 1960'erne dukkede formodningen om Birch og Swinnerton-Dyer op, hvilket forbedrede denne og manifoldens gruppe og zeta-funktioner. Numeriske beviser understøtter denne hypotese.
Løsningsproblem
Problemet med at finde en algoritme, der kan bruges til at bestemme, om en diofantligning har en løsning. Et væsentligt træk ved det stillede problem er søgen efter en universel metode, der ville være egnet til enhver ulighed. En sådan metode ville også tillade løsning af ovenstående systemer, da den er ækvivalent med P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 eller p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Problemet med at finde en sådan universel måde at finde løsninger på lineære uligheder i heltal blev stillet af D. Gilbert.
I begyndelsen af 1950'erne dukkede de første undersøgelser op, der havde til formål at bevise, at der ikke eksisterer en algoritme til løsning af diofantiske ligninger. På dette tidspunkt dukkede Davis-formodningen op, som sagde, at ethvert utalligt sæt også tilhører den græske videnskabsmand. Fordi eksempler på algoritmisk uafgørlige sæt er kendte, men er rekursivt talrige. Det følger heraf, at Davis-formodningen er sand, og problemet med løseligheden af disse ligningerhar en negativ udførelse.
Derefter, for Davis-formodningen, er det tilbage at bevise, at der er en metode til at transformere en ulighed, som også (eller ikke havde) på samme tid havde en løsning. Det blev vist, at en sådan ændring af den diofantiske ligning er mulig, hvis den har de to ovenstående egenskaber: 1) i enhver løsning af denne type v ≦ uu; 2) for enhver k er der en udførelse med eksponentiel vækst.
Et eksempel på en lineær diofantisk ligning af denne klasse fuldendte beviset. Problemet med eksistensen af en algoritme til løsbarhed og anerkendelse af disse uligheder i rationelle tal anses stadig for at være et vigtigt og åbent spørgsmål, som ikke er blevet undersøgt tilstrækkeligt.
