Matematiske problemer bruges i mange videnskaber. Disse omfatter ikke kun fysik, kemi, teknik og økonomi, men også medicin, økologi og andre discipliner. Et vigtigt begreb at mestre for at finde løsninger på vigtige dilemmaer er afledningen af en funktion. Den fysiske betydning af det er slet ikke så svært at forklare, som det kan se ud for uindviede i sagens essens. Det er nok bare at finde passende eksempler på dette i det virkelige liv og almindelige hverdagssituationer. Faktisk klarer enhver bilist en lignende opgave hver dag, når han ser på speedometeret og bestemmer sin bils hastighed på et bestemt øjeblik på et fast tidspunkt. Det er trods alt i denne parameter, at essensen af den fysiske betydning af den afledte ligger.
Sådan finder du hastighed
Bestem hastigheden for en person på vejen, ved at kende den tilbagelagte distance og rejsetid, hvilket enhver femteklasse nemt kan. For at gøre dette er den første af de givne værdier divideret med den anden. Menikke alle unge matematikere ved, at han i øjeblikket er ved at finde forholdet mellem trin af en funktion og et argument. Faktisk, hvis vi forestiller os bevægelsen i form af en graf, der plotter stien langs y-aksen og tiden langs abscissen, vil det være præcis sådan her.
Hastigheden af en fodgænger eller en hvilken som helst anden genstand, som vi bestemmer på en stor del af stien, i betragtning af at bevægelsen er ensartet, kan dog godt ændre sig. Der er mange former for bevægelse i fysik. Det kan udføres ikke kun med en konstant acceleration, men bremse og øge på en vilkårlig måde. Det skal bemærkes, at i dette tilfælde vil linjen, der beskriver bevægelsen, ikke længere være en lige linje. Grafisk kan den antage de mest komplekse konfigurationer. Men for alle punkterne på grafen kan vi altid tegne en tangent repræsenteret ved en lineær funktion.
For at tydeliggøre parameteren for forskydningsændring afhængigt af tid, er det nødvendigt at forkorte de målte segmenter. Når de bliver uendeligt små, vil den beregnede hastighed være øjeblikkelig. Denne erfaring hjælper os med at definere derivatet. Dens fysiske betydning følger også logisk af sådanne ræsonnementer.
Med hensyn til geometri
Det er kendt, at jo større kroppens hastighed er, desto stejlere er grafen for forskydningens afhængighed af tid, og dermed hældningsvinklen af tangenten til grafen på et bestemt punkt. En indikator for sådanne ændringer kan være tangenten til vinklen mellem x-aksen og tangentlinjen. Det bestemmer blot værdien af den afledte og beregnes ved forholdet mellem længdermodsat det tilstødende ben i en retvinklet trekant dannet af en vinkelret faldet fra et punkt til x-aksen.
Dette er den geometriske betydning af den første afledte. Den fysiske afsløres i det faktum, at værdien af det modsatte ben i vores tilfælde er den tilbagelagte distance, og det tilstødende er tiden. Deres forhold er hastighed. Og igen kommer vi til den konklusion, at den øjeblikkelige hastighed, bestemt når begge huller har tendens til at være uendeligt små, er essensen af begrebet afledt, hvilket indikerer dets fysiske betydning. Den anden afledede i dette eksempel vil være kroppens acceleration, som igen demonstrerer hastighedsændringen.
Eksempler på at finde derivater i fysik
Den afledte er en indikator for ændringshastigheden af enhver funktion, selv når vi ikke taler om bevægelse i ordets bogstavelige betydning. For at demonstrere dette klart, lad os tage et par konkrete eksempler. Antag, at strømstyrken, afhængig af tid, ændres i henhold til følgende lov: I=0, 4t2. Det er nødvendigt at finde værdien af den hastighed, hvormed denne parameter ændres ved slutningen af det 8. sekund af processen. Bemærk, at selve den ønskede værdi, som det kan bedømmes ud fra ligningen, er konstant stigende.
For at løse det skal du finde den første afledte, hvis fysiske betydning blev overvejet tidligere. Her er dI/dt=0,8t. Dernæst finder vi det ved t \u003d 8, vi får, at hastigheden, hvormed den nuværende styrke ændres, er 6,4 A / c. Her vurderes detstrøm måles i henholdsvis ampere og tid i sekunder.
Alt ændres
Den synlige omverden, der består af stof, undergår konstant forandringer, idet den er i bevægelse af forskellige processer, der finder sted i den. En række parametre kan bruges til at beskrive dem. Hvis de er forenet af afhængighed, så er de matematisk skrevet som en funktion, der tydeligt viser deres ændringer. Og hvor der er bevægelse (uanset hvilken form den udtrykkes), eksisterer der også en afledning, hvis fysiske betydning vi overvejer i øjeblikket.
Ved denne lejlighed, det følgende eksempel. Antag, at kropstemperaturen ændres i henhold til loven T=0, 2 t 2. Du bør finde opvarmningshastigheden i slutningen af det 10. sekund. Problemet løses på samme måde som beskrevet i det foregående tilfælde. Det vil sige, at vi finder den afledede og erstatter værdien for t \u003d 10 i den, vi får T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Det betyder, at det endelige svar er 4 grader i sekundet, det vil sige opvarmningsprocessen og temperaturændringen, målt i grader, sker præcist med en sådan hastighed.
Løsning af praktiske problemer
Selvfølgelig er alt i det virkelige liv meget mere kompliceret end i teoretiske problemer. I praksis bestemmes værdien af mængder norm alt under forsøget. I dette tilfælde bruges instrumenter, der giver aflæsninger under målinger med en bestemt fejl. Derfor skal man i beregninger forholde sig til omtrentlige værdier af parametrene og ty til afrunding af ubelejlige tal,samt andre forenklinger. Efter at have taget dette i betragtning, vil vi igen gå videre til problemer med den fysiske betydning af den afledte, da de kun er en slags matematisk model af de mest komplekse processer, der forekommer i naturen.
Vulkanudbrud
Lad os forestille os, at en vulkan går i udbrud. Hvor farlig kan han være? For at besvare dette spørgsmål skal mange faktorer tages i betragtning. Vi vil forsøge at imødekomme en af dem.
Fra mundingen af det "ildende monster" kastes sten lodret opad, med en starthastighed fra det øjeblik, de går ud til ydersiden på 120 m/s. Det er nødvendigt at beregne, hvad de kan nå den maksimale højde.
For at finde den ønskede værdi, vil vi sammensætte en ligning for afhængigheden af højden H, målt i meter, af andre værdier. Disse inkluderer starthastighed og tid. Accelerationsværdien anses for kendt og omtrent lig med 10 m/s2.
Delvis afledt
Lad os nu betragte den fysiske betydning af den afledede af en funktion fra en lidt anden vinkel, fordi selve ligningen kan indeholde ikke én, men flere variable. For eksempel i det forrige problem blev afhængigheden af højden af stenene, der blev kastet ud fra vulkanens udluftning, bestemt ikke kun af ændringen i tidskarakteristika, men også af værdien af den indledende hastighed. Sidstnævnte blev betragtet som en konstant, fast værdi. Men i andre opgaver med helt andre betingelser kunne alt være anderledes. Hvis de mængder, som kompleksetfunktion, flere, udregninger foretages efter formlerne nedenfor.
Den fysiske betydning af den hyppige afledte bør bestemmes som i det sædvanlige tilfælde. Dette er den hastighed, hvormed funktionen ændres på et bestemt tidspunkt, når parameteren for variablen stiger. Det beregnes på en sådan måde, at alle andre komponenter tages som konstanter, kun én betragtes som en variabel. Så sker alt efter de sædvanlige regler.
Uundværlig rådgiver i mange spørgsmål
For at forstå den fysiske betydning af derivatet, er det ikke svært at give eksempler på løsning af indviklede og komplekse problemer, hvor svaret kan findes med sådan viden. Hvis vi har en funktion, der beskriver brændstofforbruget afhængigt af bilens hastighed, kan vi beregne, ved hvilke parametre for sidstnævnte, benzinforbruget vil være det mindste.
I medicin kan du forudsige, hvordan den menneskelige krop vil reagere på en medicin, der er ordineret af en læge. At tage lægemidlet påvirker en række fysiologiske parametre. Disse omfatter ændringer i blodtryk, hjertefrekvens, kropstemperatur og mere. Alle afhænger af dosis af lægemidlet. Disse beregninger hjælper med at forudsige behandlingsforløbet, både i gunstige manifestationer og ved uønskede ulykker, der kan have dødelig indvirkning på ændringer i patientens krop.
Utvivlsomt er det vigtigt at forstå den fysiske betydning af derivatet i tekniskspørgsmål, især inden for elektroteknik, elektronik, design og konstruktion.
Bremselængde
Lad os overveje det næste problem. Ved at køre med konstant hastighed måtte bilen, der nærmede sig broen, sænke farten 10 sekunder før indkørslen, da chaufføren bemærkede et vejskilt, der forbød bevægelse med en hastighed på mere end 36 km/t. Har føreren overtrådt reglerne, hvis bremselængden kan beskrives med formlen S=26t - t2?
Når vi beregner den første afledede, finder vi formlen for hastigheden, vi får v=28 – 2t. Dernæst erstatter du værdien t=10 i det angivne udtryk.
Da denne værdi blev udtrykt i sekunder, er hastigheden 8 m/s, hvilket betyder 28,8 km/t. Dette gør det muligt at forstå, at chaufføren begyndte at sænke farten i tide og ikke overtrådte færdselsreglerne, og dermed grænsen angivet på hastighedsskiltet.
Dette beviser vigtigheden af den fysiske betydning af derivatet. Et eksempel på løsning af dette problem demonstrerer bredden af brugen af dette koncept på forskellige områder af livet. Også i hverdagssituationer.
Afledt i økonomi
Indtil det 19. århundrede arbejdede økonomer for det meste på gennemsnit, uanset om det var arbejdsproduktivitet eller prisen på produktionen. Men fra et tidspunkt af blev grænseværdier mere nødvendige for at lave effektive prognoser på dette område. Disse omfatter marginal nytte, indkomst eller omkostninger. Forståelsen af dette gav skub til skabelsen af et helt nyt værktøj inden for økonomisk forskning,som har eksisteret og udviklet sig i mere end hundrede år.
For at foretage sådanne beregninger, hvor sådanne begreber som minimum og maksimum dominerer, er det simpelthen nødvendigt at forstå den geometriske og fysiske betydning af den afledte. Blandt skaberne af det teoretiske grundlag for disse discipliner kan man nævne så fremtrædende engelske og østrigske økonomer som US Jevons, K. Menger og andre. Selvfølgelig er grænseværdier i økonomiske beregninger ikke altid praktiske at bruge. Og for eksempel passer kvartalsrapporter ikke nødvendigvis ind i den eksisterende ordning, men alligevel er anvendelsen af en sådan teori i mange tilfælde nyttig og effektiv.
