Fysisk betydning af inertimoment: analogi med lineær bevægelse, eksempler

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 05:21

Enhver fysisk størrelse, der foreslås i matematiske ligninger i studiet af et bestemt naturfænomen, har en vis betydning. Inertimomentet er ingen undtagelse fra denne regel. Den fysiske betydning af denne mængde diskuteres i detaljer i denne artikel.

Inertimoment: matematisk formulering

Først og fremmest skal det siges, at den fysiske størrelse, der tages i betragtning, bruges til at beskrive rotationssystemer, det vil sige sådanne bevægelser af et objekt, der er karakteriseret ved cirkulære baner omkring en eller anden akse eller punkt.

Lad os give den matematiske formel for inertimomentet for et materielt punkt:

I=mr².

Her er m og r partiklens masse og rotationsradius (afstand til aksen). Enhver fast krop, uanset hvor kompleks den måtte være, kan ment alt opdeles i materielle punkter. Så vil formlen for inertimomentet i generel form se ud:

I=∫_mr²dm.

Dette udtryk er altid sandt, og ikke kun for tredimensionelle,men også for todimensionelle (endimensionelle) legemer, det vil sige for planer og stænger.

Ud fra disse formler er det svært at forstå betydningen af det fysiske inertimoment, men en vigtig konklusion kan drages: det afhænger af massefordelingen i kroppen, der roterer, samt af afstanden til rotationsaksen. Desuden er afhængigheden af r skarpere end af m (se kvadrattegnet i formlerne).

Cirkulær bevægelse

Forstå, hvad der er den fysiske betydning af inertimomentet, det er umuligt, hvis du ikke overvejer kroppens cirkulære bevægelse. Uden at gå i detaljer, er her to matematiske udtryk, der beskriver rotationen:

I₁ω₁=I₂ω ₂;

M=I dω/dt.

Den øverste ligning kaldes loven om bevarelse af størrelsen L (momentum). Det betyder, at uanset hvilke ændringer der sker i systemet (først var der et inertimoment I₁, og så blev det lig med I₂), vil produktet I til vinkelhastigheden ω, det vil sige vinkelmomentet, forblive uændret.

Det nederste udtryk viser ændringen i systemets rotationshastighed (dω/dt), når et bestemt kraftmoment M påføres det, som har en ekstern karakter, dvs. det genereres af kræfter, der ikke relateret til interne processer i det undersøgte system.

Både den øvre og den nedre lighed indeholder I, og jo større dens værdi, desto lavere er vinkelhastigheden ω eller vinkelaccelerationen dω/dt. Dette er den fysiske betydning af øjeblikket.kropsinerti: det afspejler systemets evne til at opretholde sin vinkelhastighed. Jo mere jeg, jo stærkere manifesterer denne evne sig.

Lineær momentumanalogi

Lad os nu gå videre til den samme konklusion, som blev udtrykt i slutningen af det foregående afsnit, hvor vi tegner en analogi mellem rotations- og translationsbevægelser i fysik. Som du ved, er sidstnævnte beskrevet med følgende formel:

p=mv.

Dette simple udtryk bestemmer systemets momentum. Lad os sammenligne dens form med den for vinkelmomentet (se det øverste udtryk i forrige afsnit). Vi ser, at værdierne v og ω har samme betydning: den første karakteriserer ændringshastigheden af objektets lineære koordinater, den anden karakteriserer vinkelkoordinaterne. Da begge formler beskriver processen med ensartet (ækvikantet) bevægelse, skal værdierne m og I også have samme betydning.

Betragt nu Newtons 2. lov, som er udtrykt ved formlen:

F=ma.

Ved at være opmærksom på formen for den lavere lighed i det foregående afsnit, har vi en situation, der ligner den betragtede. Kraftmomentet M i sin lineære repræsentation er kraften F, og den lineære acceleration a er fuldstændig analog med den vinkelformede dω/dt. Og igen kommer vi til ækvivalensen mellem masse og inertimoment.

Hvad er meningen med masse i klassisk mekanik? Det er et mål for inerti: Jo større m, jo sværere er det at flytte objektet fra dets sted, og endnu mere at give det acceleration. Det samme kan siges om inertimomentet i forhold til rotationsbevægelsen.

Fysisk betydning af inertimomentet på et husstandseksempel

Lad os stille et simpelt spørgsmål om, hvordan det er nemmere at dreje en metalstang, for eksempel et armeringsjern - når rotationsaksen er rettet langs dens længde, eller når den er på tværs? Selvfølgelig er det lettere at dreje stangen i det første tilfælde, fordi dens inertimoment for en sådan position af aksen vil være meget lille (for en tynd stang er det lig nul). Derfor er det nok at holde en genstand mellem håndfladerne og med en lille bevægelse bringe den i rotation.

Forresten, det beskrevne faktum blev eksperimentelt bekræftet af vores forfædre i oldtiden, da de lærte at lave ild. De snurrede pinden med enorme vinkelaccelerationer, hvilket førte til skabelsen af store friktionskræfter og som følge heraf frigivelsen af en betydelig mængde varme.

Et bilsvinghjul er et glimrende eksempel på at bruge et stort inertimoment

Afslutningsvis vil jeg gerne give det måske vigtigste eksempel for moderne teknologi på at bruge den fysiske betydning af inertimomentet. Svinghjulet på en bil er en solid stålskive med en relativt stor radius og masse. Disse to værdier bestemmer eksistensen af en væsentlig værdi, som jeg karakteriserer den. Svinghjulet er designet til at "blødgøre" enhver kraftpåvirkning på bilens krumtapaksel. Den impulsive karakter af de virkende kræftmomenter fra motorcylindrene til krumtapakslen udglattes og gøres glatte takket være det tunge svinghjul.

Forresten, jo større vinkelmomentum ermere energi er i et roterende system (analogi med masse). Ingeniører ønsker at bruge denne kendsgerning ved at gemme en bils bremseenergi i svinghjulet for efterfølgende at dirigere den til at accelerere køretøjet.