Trekant er den enkleste figur, der er lukket på planet, og består kun af tre indbyrdes forbundne segmenter. I geometriproblemer er det ofte nødvendigt at bestemme arealet af denne figur. Hvad skal du vide til dette? I artiklen vil vi besvare spørgsmålet om, hvordan man finder arealet af en trekant på tre sider.
Generel formel
Enhver elev ved, at arealet af en trekant beregnes som produktet af længden af en hvilken som helst af dens sider - a med halvdelen af højden - h, sænket til den valgte side. Nedenfor er den tilsvarende formel: S=ah/2.
Dette udtryk kan bruges, hvis mindst to sider og værdien af vinklen mellem dem er kendt. I dette tilfælde er højden h let at beregne ved hjælp af trigonometriske funktioner, såsom sinus. Men ikke alle ved, hvordan man finder området på tre sider af en trekant.
Heron's Formula
Denne formel er svaret på spørgsmålet om hvordantre sider finder arealet af trekanten. Før vi skriver det ned, lad os betegne længderne af segmenterne af en vilkårlig figur som a, b og c. Herons formel er skrevet som følger: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Hvor p er figurens halve omkreds, dvs.: p=(a+b+c)/2.
På trods af den tilsyneladende besværlighed er ovenstående udtryk for området S let at huske. For at gøre dette skal du først beregne halvomkredsen af trekanten, derefter trække fra den med en længde af siden af figuren, gange alle de opnåede forskelle og selve semiomkredsen. Tag endelig kvadratroden af produktet.
Denne formel er opkaldt efter Heron af Alexandria, som levede i begyndelsen af vores æra. Moderne historie mener, at det var denne filosof, der først anvendte dette udtryk til at udføre de tilsvarende beregninger. Denne formel er offentliggjort i hans Metrica, som dateres tilbage til 60 e. Kr. Bemærk, at nogle af værkerne af Archimedes, der levede to århundreder tidligere end Heron, indeholder tegn på, at den græske filosof allerede kendte formlen. Derudover vidste de gamle kinesere også, hvordan man fandt arealet af en trekant ved at kende tre sider.
Det er vigtigt at bemærke, at problemet kan løses uden at kende eksistensen af Herons formel. For at gøre dette skal du tegne et par højder i trekanten og bruge den generelle formel fra det foregående afsnit, og kompilere det passende ligningssystem.
Herons udtryk kan bruges til at beregne arealer af vilkårlige polygoner, efter at de er opdelt itrekanter og udregning af længderne af de resulterende diagonaler.
Eksempel på problemløsning
Når vi ved, hvordan man finder arealet af en trekant på tre sider, så lad os konsolidere vores viden ved at løse følgende problem. Lad siderne af figuren være 5 cm, 4 cm og 3 cm Find arealet.
Tre sider af en trekant er kendt, så du kan bruge Herons formel. Vi beregner semi-perimeteren og de nødvendige forskelle, vi har:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1 cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Så får vi arealet: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Trekanten angivet i problemets tilstand er retvinklet, hvilket er let at kontrollere, hvis du bruger Pythagoras sætning. Da arealet af sådan en trekant er halvdelen af produktet af benene, får vi: S=43/2=6 cm2.
Den resulterende værdi er den samme som for Herons formel, som bekræfter gyldigheden af sidstnævnte.
