Trekant er en af de mest almindelige geometriske former, som vi allerede kender i folkeskolen. Spørgsmålet om, hvordan man finder arealet af en trekant, står over for hver elev i geometritimerne. Så hvad er funktionerne ved at finde området for en given figur, der kan skelnes? I denne artikel vil vi overveje de grundlæggende formler, der er nødvendige for at fuldføre en sådan opgave, samt analysere typerne af trekanter.
Typer af trekanter
Du kan finde arealet af en trekant på helt forskellige måder, fordi der i geometri er mere end én type figur, der indeholder tre vinkler. Disse arter omfatter:
- Akut trekant.
- Obt-vinklet.
- Ligesidet (korrekt).
- Højre trekant.
- Isosceles.
Lad os se nærmere på hver af de eksisterende typer trekanter.
Akuttrekant
En sådan geometrisk figur anses for at være den mest almindelige til at løse geometriske problemer. Når det bliver nødvendigt at tegne en vilkårlig trekant, kommer denne mulighed til undsætning.
I en spids trekant, som navnet antyder, er alle vinkler spidse og summer op til 180°.
Ridvinklet trekant
Denne trekant er også meget almindelig, men er noget mindre almindelig end den spidsvinklede. For eksempel, når du løser trekanter (det vil sige, du kender flere af dens sider og vinkler, og du skal finde de resterende elementer), skal du nogle gange bestemme, om vinklen er stump eller ej. Cosinus for en stump vinkel er et negativt tal.
I en stump trekant overstiger værdien af en af vinklerne 90°, så de resterende to vinkler kan have små værdier (f.eks. 15° eller endda 3°).
For at finde arealet af en trekant af denne type skal du kende nogle nuancer, som vi vil tale om senere.
Regulære og ligebenede trekanter
En regulær polygon er en figur, der omfatter n vinkler, og alle sider og vinkler er lige store. Dette er den rigtige trekant. Da summen af alle vinklerne i en trekant er 180°, er hver af de tre vinkler 60°.
En regulær trekant kaldes på grund af sin egenskab også en ligesidet figur.
Det er også værd at bemærke, at ien regulær trekant kan kun indskrives med én cirkel, og kun én cirkel kan omskrives omkring den, og deres centre er placeret i ét punkt.
Udover den ligesidede type kan man også vælge en ligebenet trekant, som afviger lidt fra den. I en sådan trekant er to sider og to vinkler lig med hinanden, og den tredje side (som lige store vinkler støder op til) er grundfladen.
Figuren viser en ligebenet trekant DEF, hvis vinkler D og F er lige store, og DF er grundfladen.
Højre trekant
En retvinklet trekant er navngivet, fordi en af dens vinkler er en ret vinkel, det vil sige lig med 90°. De to andre vinkler summeres til 90°.
Den største side af en sådan trekant, der ligger modsat vinklen på 90°, er hypotenusen, mens de to andre af dens sider er benene. For denne type trekanter er Pythagoras sætning anvendelig:
Summen af kvadraterne af benlængderne er lig kvadratet af hypotenusens længde.
Figuren viser en retvinklet trekant BAC med hypotenusen AC og benene AB og BC.
For at finde arealet af en trekant med en ret vinkel skal du kende de numeriske værdier af dens ben.
Lad os gå videre til formlerne for at finde arealet af denne figur.
Grundlæggende områdeformler
I geometri er der to formler, der er egnede til at finde arealet af de fleste typer trekanter, nemlig for spidsvinklede, stumpvinklede, regulære ogligebenede trekanter. Lad os analysere hver af dem.
Ved side og højde
Denne formel er universel til at finde arealet af den figur, vi overvejer. For at gøre dette er det nok at kende længden af siden og længden af højden trukket til den. Selve formlen (det halve produkt af basen og højden) ser sådan ud:
S=½AH, hvor A er siden af den givne trekant, og H er højden af trekanten.
For at finde arealet af en spidsvinklet trekant ACB, skal du gange dens side AB med højden CD og dividere den resulterende værdi med to.
Det er dog ikke altid let at finde arealet af en trekant på denne måde. For at bruge denne formel for en stumpvinklet trekant, skal du for eksempel fortsætte en af dens sider og først derefter tegne en højde til den.
I praksis bruges denne formel oftere end andre.
På to sider og et hjørne
Denne formel er ligesom den foregående velegnet til de fleste trekanter og er i sin betydning en konsekvens af formlen til at finde arealet ved siden af og højden af en trekant. Det vil sige, at den pågældende formel let kan udledes fra den foregående. Hendes formulering ser således ud:
S=½sinOAB, hvor A og B er sider af en trekant, og O er vinklen mellem siderne A og B.
Husk, at en vinkels sinus kan ses i en speciel tabel opkaldt efter den fremragende sovjetiske matematiker V. M. Bradis.
Og lad os nu gå videre til andre formler,kun egnet til ekstraordinære typer trekanter.
Areal af en retvinklet trekant
Ud over den universelle formel, som inkluderer behovet for at tegne en højde i en trekant, kan arealet af en trekant, der indeholder en ret vinkel, findes ved dens ben.
Således er arealet af en trekant, der indeholder en ret vinkel, halvdelen af produktet af dens ben, eller:
S=½ab, hvor a og b er benene i en retvinklet trekant.
Regulær trekant
Denne type geometriske figurer adskiller sig ved, at dens areal kan findes med den angivne værdi af kun en af dens sider (da alle sider i en regulær trekant er lige store). Så efter at have mødt opgaven med at "finde arealet af en trekant, når siderne er lige", skal du bruge følgende formel:
S=A2√3 / 4, hvor A er siden af en ligesidet trekant.
Heron's Formula
Den sidste mulighed for at finde arealet af en trekant er Herons formel. For at bruge det skal du kende længderne af figurens tre sider. Herons formel ser sådan ud:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), hvor a, b og c er siderne i denne trekant.
Nogle gange gives opgaven: "arealet af en regulær trekant - find længden af dens side." I dette tilfælde skal du bruge den allerede kendte formel til at finde arealet af en regulær trekant og udlede værdien af siden (eller dens kvadrat) fra den:
A2=4S / √3.
Eksamensproblemer
I GIA-opgaverDer er mange formler i matematik. Derudover er det ofte nødvendigt at finde arealet af en trekant på ternet papir.
I dette tilfælde er det mest bekvemt at tegne højden til en af siderne af figuren, bestemme dens længde ved celler og bruge den universelle formel til at finde arealet:
S=½AH.
Så efter at have studeret formlerne præsenteret i artiklen, vil du ikke have problemer med at finde arealet af en trekant af nogen art.
