Benene og hypotenusen er siderne i en retvinklet trekant. Den første er segmenter, der støder op til den rette vinkel, og hypotenusen er den længste del af figuren og er modsat vinklen ved 90o. En pythagoras trekant er en, hvis sider er lig med naturlige tal; deres længder i dette tilfælde kaldes "Pythagorean triple".
egyptisk trekant
For at den nuværende generation kan lære geometri i den form, som den bliver undervist i i skolen nu, har den udviklet sig i flere århundreder. Det grundlæggende punkt er Pythagoras sætning. Siderne i en retvinklet trekant (figuren er kendt over hele verden) er 3, 4, 5.
Få mennesker er ikke bekendt med sætningen "Pythagoreanske bukser er lige i alle retninger." Men sætningen lyder faktisk sådan her: c2 (hypotenusens kvadrat)=a2+b2(summen af kvadraternes ben).
Blandt matematikere kaldes en trekant med siderne 3, 4, 5 (cm, m osv.) "egyptisk". Det er interessant, at radius af cirklen, som er indskrevet i figuren, er lig med en. Navnet opstod omkring det 5. århundrede f. Kr., da græske filosoffer rejste til Egypten.
Når de byggede pyramiderne, brugte arkitekter og landmålere et forhold på 3:4:5. Sådanne strukturer viste sig at være proportionale, behagelige for øjet og rummelige og faldt også sjældent sammen.
For at bygge en ret vinkel brugte bygherrerne et reb, hvorpå der blev bundet 12 knob. I dette tilfælde steg sandsynligheden for at konstruere en retvinklet trekant til 95%.
Tegn på lige tal
- En spids vinkel i en retvinklet trekant og en stor side, som er lig med de samme elementer i den anden trekant, er et ubestrideligt tegn på lighed mellem figurer. Under hensyntagen til summen af vinklerne er det let at bevise, at de anden spidse vinkler også er ens. Således er trekanter identiske i det andet træk.
- Når to figurer er overlejret på hinanden, drej dem på en sådan måde, at de tilsammen bliver en ligebenet trekant. Ifølge dens egenskab er siderne, eller rettere hypotenuserne, lige store, ligesom vinklerne ved basen, hvilket betyder, at disse figurer er ens.
Ved det første tegn er det meget nemt at bevise, at trekanterne virkelig er ens, det vigtigste er, at de to mindre sider (dvs. ben) er ens med hinanden.
Trekanter vil være de samme i II-funktionen, hvis essens er ligheden mellem benet og den spidse vinkel.
Egenskaber for en trekant med en ret vinkel
Højden sænket fra den rigtige vinkel opdeler figuren i to lige store dele.
Siderne af en retvinklet trekant og dens median er lette at genkende efter reglen: medianen, som er sænket til hypotenusen, er lig med halvdelen af den. Arealet af en figur kan findes både ved Herons formel og ved udsagnet om, at det er lig med halvdelen af produktet af benene.
I en retvinklet trekant er egenskaberne for vinkler ved 30o, 45o og 60o.
- Med en vinkel, der er 30o, skal du huske, at det modsatte ben vil være lig med 1/2 af den største side.
- Hvis vinklen er 45o, så er den anden spidse vinkel også 45o. Dette tyder på, at trekanten er ligebenet, og dens ben er de samme.
- egenskaben ved en vinkel på 60o er, at den tredje vinkel har et gradmål på 30o.
Området er let at finde ud af ved en af tre formler:
- gennem højden og siden, den falder på;
- ifølge Herons formel;
- på siderne og vinklen mellem dem.
Siderne af en retvinklet trekant, eller rettere benene, konvergerer med to højder. For at finde den tredje er det nødvendigt at overveje den resulterende trekant og derefter ved hjælp af Pythagoras sætning beregne den nødvendige længde. Ud over denne formel er der også forholdet mellem to gange arealet og længden af hypotenusen. Det mest almindelige udtryk blandt elever er det første, da det kræver færre beregninger.
Sætninger anvendt på en rektangulærtrekant
Geometrien af en retvinklet trekant inkluderer brugen af sætninger såsom:
- Pythagores sætning. Dens essens ligger i det faktum, at kvadratet af hypotenusen er lig med summen af kvadraterne på benene. I euklidisk geometri er denne relation nøglen. Du kan bruge formlen, hvis der er givet en trekant, for eksempel SNH. SN er hypotenusen og skal findes. Derefter SN2=NH2+HS2.
- Cosinussætning. Generaliserer Pythagoras sætning: g2=f2+s2-2fscos af vinklen mellem dem. For eksempel givet en trekant DOB. Benet DB og hypotenusen DO er kendt, det er nødvendigt at finde OB. Så har formlen denne form: OB2=DB2+DO2-2DBDO cos vinkel D. Der er tre konsekvenser: trekantens vinkel vil være spids, hvis kvadratet på længden af den tredje trækkes fra summen af kvadraterne på de to sider, skal resultatet være mindre end nul. Vinklen er stump, hvis dette udtryk er større end nul. Vinkel er en ret vinkel, når lig med nul.
- Sinussætning. Det viser forholdet mellem sider og modsatte vinkler. Med andre ord er dette forholdet mellem længderne af siderne og sinus af de modsatte vinkler. I trekant HFB, hvor hypotenusen er HF, vil det være sandt: HF/sin af vinkel B=FB/sin af vinkel H=HB/sin af vinkel F.
