Vinkler mellem fly. Sådan bestemmes vinklen mellem planer

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-02 17:43

Når man løser geometriske problemer i rummet, er der ofte dem, hvor det er nødvendigt at beregne vinklerne mellem forskellige rumlige objekter. I denne artikel vil vi overveje spørgsmålet om at finde vinkler mellem planer og mellem dem og en lige linje.

Linje i rummet

Det er kendt, at absolut enhver ret linje i planet kan defineres ved følgende lighed:

y=ax + b

Her er a og b nogle tal. Hvis vi repræsenterer en ret linje i rummet med det samme udtryk, så får vi et plan parallelt med z-aksen. Til den matematiske definition af den rumlige linje anvendes en anden løsningsmetode end i det todimensionelle tilfælde. Det består i at bruge begrebet "retningsvektor".

Den rettede vektor for en lige linje viser dens orientering i rummet. Denne parameter hører til linjen. Da der er et uendeligt sæt vektorer parallelt i rummet, er det for entydigt at bestemme det betragtede geometriske objekt også nødvendigt at kende koordinaterne for det punkt, der hører til det.

Antag, at der erpunkt P(x₀; y₀; z_{0) og retningsvektor v¯(a; b; c), så kan ligningen for en ret linje gives som følger:}

(x; y; z)=P + αv¯ eller

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Dette udtryk kaldes den parametriske vektorligning for en ret linje. Koefficienten α er en parameter, der kan tage absolut alle reelle værdier. Koordinaterne for en linje kan repræsenteres eksplicit ved at udvide denne lighed:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

Planets ligning

Der er flere former for at skrive en ligning for et plan i rummet. Her vil vi overveje en af dem, som oftest bruges ved beregning af vinklerne mellem to planer eller mellem en af dem og en ret linje.

Hvis der kendes en vektor n¯(A; B; C), som er vinkelret på det ønskede plan, og punktet P(x₀; y ₀; z_{0), som hører til den, så er den generelle ligning for sidstnævnte:}

Ax + By + Cz + D=0 hvor D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Vi har udeladt afledningen af dette udtryk, hvilket er ganske enkelt. Her bemærker vi kun, at ved at kende koefficienterne for variablerne i planens ligning, kan man nemt finde alle de vektorer, der er vinkelrette på den. Sidstnævnte kaldes normaler og bruges til at beregne vinklerne mellem det skrånende og planet og mellemvilkårlige analoger.

Placeringen af flyene og formlen for vinklen mellem dem

Lad os sige, at der er to fly. Hvad er mulighederne for deres relative position i rummet. Da planet har to uendelige dimensioner og et nul, er der kun to muligheder for deres indbyrdes orientering:

de vil være parallelle med hinanden;
de kan overlappe hinanden.

Vinklen mellem planer er indekset mellem deres retningsvektorer, dvs. mellem deres normaler n₁¯ og n_2¯.

Det er klart, hvis de er parallelle med planet, så er skæringsvinklen nul mellem dem. Hvis de skærer hinanden, så er det ikke-nul, men altid skarpt. Et særligt tilfælde af skæring vil være vinklen 90o, når flyene er indbyrdes vinkelrette på hinanden.

Vinklen α mellem n₁¯ og n_{2¯ bestemmes let ud fra skalarproduktet af disse vektorer. Det vil sige, at formlen finder sted:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Antag, at koordinaterne for disse vektorer er: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). Ved hjælp af formlerne til beregning af skalarproduktet og moduler af vektorer gennem deres koordinater kan udtrykket ovenfor omskrives som:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

Modulus i tælleren dukkede op for at udelukke værdierne for stumpe vinkler.

Eksempler på løsning af problemer for at bestemme skæringsvinklen for planer

Vi ved, hvordan vi finder vinklen mellem flyene, og vi løser følgende problem. Der er givet to planer, hvis ligninger er:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Hvad er vinklen mellem planerne?

For at besvare spørgsmålet om problemet, lad os huske, at koefficienterne for variablerne i den generelle ligning for planet er koordinaterne til guidevektoren. For de angivne fly har vi følgende koordinater for deres normaler:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Nu finder vi skalarproduktet af disse vektorer og deres moduler, vi har:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Nu kan du erstatte de fundne tal i formlen givet i det foregående afsnit. Vi får:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Den resulterende værdi svarer til en spids skæringsvinkel for de planer, der er specificeret i betingelsenopgaver.

Tag nu et andet eksempel. Givet to fly:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Skærer de hinanden? Lad os skrive værdierne af koordinaterne for deres retningsvektorer, beregne deres skalarprodukt og moduler:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Så er skæringsvinklen:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Denne vinkel indikerer, at planerne ikke skærer hinanden, men er parallelle. At de ikke matcher hinanden er let at tjekke. Lad os tage for dette et vilkårligt punkt, der hører til den første af dem, for eksempel P(0; 3; 2). Hvis dens koordinater indsættes i den anden ligning, får vi:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

Det vil sige, at punktet P kun hører til det første plan.

Så to planer er parallelle, når deres normaler er det.

Plan og lige linje

I tilfælde af at overveje den relative position mellem et plan og en ret linje, er der flere muligheder end med to planer. Denne kendsgerning er forbundet med det faktum, at den lige linje er et endimensionelt objekt. Linje og fly kan være:

gensidigt parallelt, i dette tilfælde skærer flyet ikke linjen;
sidstnævnte kan tilhøre flyet, mens det også vil være parallelt med det;
begge objekter kanskæres i en vinkel.

Lad os først overveje det sidste tilfælde, da det kræver introduktion af begrebet skæringsvinklen.

Linje og plan, vinklen mellem dem

Hvis en lige linje skærer et plan, så kaldes det skrå i forhold til det. Skæringspunktet kaldes bunden af skråningen. For at bestemme vinklen mellem disse geometriske objekter er det nødvendigt at sænke en lige vinkelret på planet fra ethvert punkt. Så danner skæringspunktet for den vinkelrette med planet og skæringsstedet for den skrå linje med den en lige linje. Sidstnævnte kaldes projektionen af den oprindelige linje på det pågældende fly. Den spidse vinkel mellem linjen og dens projektion er den nødvendige.

En lidt forvirrende definition af vinklen mellem et plan og en skrå vil tydeliggøre figuren nedenfor.

Her er vinklen ABO vinklen mellem linjen AB og planet a.

For at nedskrive formlen for det, overvej et eksempel. Lad der være en ret linje og en plan, som beskrives ved ligningerne:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

Det er nemt at beregne den ønskede vinkel for disse objekter, hvis du finder skalarproduktet mellem linjens og planets retningsvektorer. Den resulterende spidse vinkel skal trækkes fra 90o, så opnås den mellem en ret linje og et plan.

Figuren ovenfor viser den beskrevne algoritme til at findebetragtet vinkel. Her er β vinklen mellem normalen og linjen, og α er mellem linjen og dens projektion på planet. Det kan ses, at deres sum er 90o.

Ovenfor blev der præsenteret en formel, der besvarer spørgsmålet om, hvordan man finder en vinkel mellem planer. Nu giver vi det tilsvarende udtryk for tilfældet med en ret linje og et plan:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

Modulet i formlen tillader kun at beregne spidse vinkler. Arcsinus-funktionen optrådte i stedet for arccosinus på grund af brugen af den tilsvarende reduktionsformel mellem trigonometriske funktioner (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

Problem: Et fly skærer en lige linje

Lad os nu vise, hvordan man arbejder med ovenstående formel. Lad os løse problemet: det er nødvendigt at beregne vinklen mellem y-aksen og planet givet af ligningen:

y - z + 12=0

Dette fly er vist på billedet.

Du kan se, at den skærer y- og z-akserne i henholdsvis punkterne (0; -12; 0) og (0; 0; 12), og er parallel med x-aksen.

Retningsvektoren for linjen y har koordinater (0; 1; 0). En vektor vinkelret på et givet plan er karakteriseret ved koordinater (0; 1; -1). Vi anvender formlen for skæringsvinklen for en ret linje og et plan, vi får:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Problem: lige linje parallelt med planet

Lad os nu besluttesvarende til det tidligere problem, hvis spørgsmål stilles anderledes. Ligningerne for planen og den rette linje er kendt:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

Det er nødvendigt at finde ud af, om disse geometriske objekter er parallelle med hinanden.

Vi har to vektorer: retningen af den rette linje er (0; 2; 2), og retningen af planet er (1; 1; -1). Find deres prikkede produkt:

01 + 12 - 12=0

Det resulterende nul angiver, at vinklen mellem disse vektorer er 90o, hvilket beviser, at linjen og planet er parallelle.

Lad os nu tjekke, om denne linje kun er parallel eller også ligger i planet. For at gøre dette skal du vælge et vilkårligt punkt på linjen og kontrollere, om det hører til flyet. Lad os for eksempel tage λ=0, så hører punktet P(1; 0; 0) til linjen. Sæt ind i planens ligning P:

1 - 3=-2 ≠ 0

Punkten P hører ikke til flyet, hvilket betyder, at hele linjen heller ikke ligger i det.

Hvor er det vigtigt at kende vinklerne mellem de betragtede geometriske objekter?

Ovenstående formler og eksempler på problemløsning er ikke kun af teoretisk interesse. De bruges ofte til at bestemme vigtige fysiske mængder af rigtige tredimensionelle figurer, såsom prismer eller pyramider. Det er vigtigt at være i stand til at bestemme vinklen mellem planerne, når man beregner figurernes rumfang og arealer af deres overflader. Desuden, hvis det i tilfælde af et lige prisme er muligt ikke at bruge disse formler til at bestemmeangivne værdier, så er brugen af enhver type pyramide uundgåelig.

Betragt nedenfor et eksempel på brug af ovenstående teori til at bestemme vinklerne på en pyramide med en kvadratisk base.

Pyramiden og dens hjørner

Figuren nedenfor viser en pyramide, i bunden af hvilken der ligger en firkant med side a. Figurens højde er h. Skal finde to hjørner:

mellem sideflade og bund;
mellem siderib og bund.

For at løse problemet skal du først indtaste koordinatsystemet og bestemme parametrene for de tilsvarende hjørner. Figuren viser, at oprindelsen af koordinater falder sammen med punktet i midten af kvadratbasen. I dette tilfælde beskrives basisplanet med ligningen:

z=0

Det vil sige, for enhver x og y, er værdien af den tredje koordinat altid nul. Sideplanet ABC skærer z-aksen i punktet B(0; 0; h), og y-aksen i punktet med koordinaterne (0; a/2; 0). Den krydser ikke x-aksen. Det betyder, at ligningen for ABC-planet kan skrives som:

y / (a/2) + z/h=1 eller

2hy + az - ah=0

Vektor AB¯ er en sidekant. Dens start- og slutkoordinater er: A(a/2; a/2; 0) og B(0; 0; h). Så koordinaterne for selve vektoren:

AB¯(-a/2; -a/2; h)

Vi har fundet alle de nødvendige ligninger og vektorer. Nu er det tilbage at bruge de overvejede formler.

Først beregner vi i pyramiden vinklen mellem basens planerog side. De tilsvarende normalvektorer er: n₁¯(0; 0; 1) og n_{2¯(0; 2h; a). Så bliver vinklen:}