Et typisk geometrisk problem er at finde vinklen mellem linjer. På et plan, hvis ligningerne for linjer er kendte, kan de tegnes og vinklen måles med en vinkelmåler. Denne metode er dog besværlig og ikke altid mulig. For at finde ud af den navngivne vinkel er det ikke nødvendigt at tegne lige linjer, det kan beregnes. Denne artikel vil besvare, hvordan dette gøres.
En lige linje og dens vektorligning
Enhver lige linje kan repræsenteres som en vektor, der starter ved -∞ og slutter ved +∞. I dette tilfælde passerer vektoren gennem et eller andet punkt i rummet. Således vil alle vektorer, der kan tegnes mellem to vilkårlige punkter på en ret linje, være parallelle med hinanden. Denne definition giver dig mulighed for at indstille ligningen for en ret linje i vektorform:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Her er vektoren med koordinater (a; b; c) guiden for denne linje, der går gennem punktet (x0; y0; z0). Parameteren α giver dig mulighed for at overføre det specificerede punkt til et hvilket som helst andet for denne linje. Denne ligning er intuitiv og nem at arbejde med både i 3D-rum og på et fly. For et plan vil det ikke indeholde z-koordinaterne og vektorkomponenten i tredje retning.
Bekvemmeligheden ved at udføre beregninger og studere den relative position af rette linjer på grund af brugen af en vektorligning skyldes, at dens retningsvektor er kendt. Dens koordinater bruges til at beregne vinklen mellem linjer og afstanden mellem dem.
Generel ligning for en lige linje på et plan
Lad os eksplicit skrive vektorligningen for den rette linje for det todimensionale tilfælde. Det ser ud som:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Nu beregner vi parameteren α for hver lighed og sætter lighedstegn mellem de rigtige dele af de opnåede ligheder:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Når vi åbner parenteserne og overfører alle udtryk til den ene side af lighed, får vi:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, hvor A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Det resulterende udtryk kaldes den generelle ligning for en ret linje givet i todimension alt rum (i tredimensional svarer denne ligning til et plan parallelt med z-aksen, ikke en ret linje).
Hvis vi udtrykkeligt skriver y til x i dette udtryk, får vi følgende form, kendthver elev:
y=kx + p, hvor k=-A/B, p=-C/B
Denne lineære ligning definerer entydigt en lige linje på planet. Det er meget nemt at tegne det efter den velkendte ligning, hertil skal du sætte x=0 og y=0 på skift, markere de tilsvarende punkter i koordinatsystemet og tegne en ret linje, der forbinder de opnåede punkter.
Formel for vinklen mellem linjer
På et plan kan to linjer enten skære eller være parallelle med hinanden. I rummet tilføjes disse muligheder muligheden for, at der findes skæve linjer. Uanset hvilken version af den relative position af disse endimensionelle geometriske objekter implementeres, kan vinklen mellem dem altid bestemmes af følgende formel:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Hvor v1¯ og v2¯ er guidevektorerne for henholdsvis linje 1 og 2. Tælleren er modulus for prikproduktet for at udelukke stumpe vinkler og kun tage højde for skarpe vinkler.
Vektorerne v1¯ og v2¯ kan gives af to eller tre koordinater, mens formlen for vinklen φ forbliver uændret.
Parallelisme og vinkelrette linjer
Hvis vinklen mellem 2 linjer beregnet ved hjælp af formlen ovenfor er 0o, så siges de at være parallelle. For at afgøre, om linjerne er parallelle eller ej, kan du ikke beregne vinklenφ, det er tilstrækkeligt at vise, at en retningsvektor kan repræsenteres gennem en lignende vektor af en anden linje, det vil sige:
v1¯=qv2¯
Her er q et reelt tal.
Hvis linjernes ligninger er givet som:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
så vil de kun være parallelle, når koefficienterne for x er ens, dvs.:
k1=k2
Dette faktum kan bevises, hvis vi overvejer, hvordan koefficienten k udtrykkes i form af koordinaterne for den rette linjes retningsvektor.
Hvis skæringsvinklen mellem linjer er 90o, så kaldes de vinkelrette. For at bestemme linjers vinkelrethed er det heller ikke nødvendigt at beregne vinklen φ, for dette er det nok kun at beregne skalarproduktet af vektorerne v1¯ og v 2¯. Det skal være nul.
I tilfælde af skærende rette linjer i rummet, kan formlen for vinklen φ også bruges. I dette tilfælde skal resultatet fortolkes korrekt. Den beregnede φ viser vinklen mellem retningsvektorerne for linjer, der ikke skærer og ikke er parallelle.
Opgave 1. Vinkelrette linjer
Det er kendt, at linjernes ligninger har formen:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Det er nødvendigt at afgøre, om disse linjer ervinkelret.
Som nævnt ovenfor, for at besvare spørgsmålet, er det nok at beregne skalarproduktet af guidernes vektorer, som svarer til koordinaterne (1; 2) og (-4; 2). Vi har:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Da vi fik 0, betyder det, at de betragtede linjer skærer hinanden i en ret vinkel, dvs. de er vinkelrette.
Opgave 2. Linje skæringsvinkel
Det er kendt, at to ligninger for rette linjer har følgende form:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Det er nødvendigt at finde vinklen mellem linjerne.
Da koefficienterne for x har forskellige værdier, er disse linjer ikke parallelle. For at finde den vinkel, der dannes, når de skærer hinanden, oversætter vi hver af ligningerne til en vektorform.
For den første linje får vi:
(x; y)=(x; 2x - 1)
På højre side af ligningen har vi en vektor, hvis koordinater afhænger af x. Lad os repræsentere det som en sum af to vektorer, og koordinaterne for den første vil indeholde variablen x, og koordinaterne for den anden vil udelukkende bestå af tal:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Da x tager vilkårlige værdier, kan det erstattes af parameteren α. Vektorligningen for den første linje bliver:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Vi udfører de samme handlinger med den anden ligning på linjen, vi får:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Vi omskrev de originale ligninger i vektorform. Nu kan du bruge formlen for skæringsvinklen og erstatte koordinaterne for linjernes retningsvektorer:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Således skærer de overvejede linjer i en vinkel på 71,565o eller 1,249 radianer.
Dette problem kunne have været løst anderledes. For at gøre dette var det nødvendigt at tage to vilkårlige punkter af hver lige linje, komponere direkte vektorer fra dem og derefter bruge formlen for φ.
