Et plan er et geometrisk objekt, hvis egenskaber bruges ved konstruktion af projektioner af punkter og linjer, samt ved beregning af afstande og dihedriske vinkler mellem elementer i tredimensionelle figurer. Lad os i denne artikel overveje, hvilke ligninger der kan bruges til at studere placeringen af fly i rummet.
Flydefinition
Alle forestiller sig intuitivt, hvilket objekt der vil blive diskuteret. Fra et geometrisk synspunkt er et plan en samling af punkter, hvor alle vektorer skal være vinkelrette på en vektor. For eksempel, hvis der er m forskellige punkter i rummet, så kan der laves m(m-1) / 2 forskellige vektorer fra dem, der forbinder punkterne i par. Hvis alle vektorer er vinkelrette på en eller anden retning, er dette en tilstrækkelig betingelse for, at alle punkter m hører til det samme plan.
Generel ligning
I rumlig geometri beskrives en plan ved hjælp af ligninger, der generelt indeholder tre ukendte koordinater svarende til x-, y- og z-akserne. Tilfå den generelle ligning i plankoordinater i rummet, antag at der er en vektor n¯(A; B; C) og et punkt M(x0; y0; z0). Ved at bruge disse to objekter kan planet defineres entydigt.
Antag faktisk, at der er et andet punkt P(x; y; z), hvis koordinater er ukendte. Ifølge definitionen givet ovenfor skal vektoren MP¯ være vinkelret på n¯, det vil sige, at skalarproduktet for dem er lig med nul. Så kan vi skrive følgende udtryk:
(n¯MP¯)=0 eller
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0)=0
Når vi åbner parenteserne og introducerer en ny koefficient D, får vi udtrykket:
Ax + By + Cz + D=0 hvor D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Dette udtryk kaldes den generelle ligning for planet. Det er vigtigt at huske, at koefficienterne foran x, y og z danner koordinaterne for vektoren n¯(A; B; C) vinkelret på planet. Det falder sammen med det normale og er en guide for flyet. For at bestemme den generelle ligning er det ligegyldigt, hvor denne vektor er rettet. Det vil sige, at planerne bygget på vektorerne n¯ og -n¯ vil være de samme.
Figuren ovenfor viser et plan, en vektor normal på den og en linje vinkelret på planet.
Segmenter afskåret af planet på akserne og den tilsvarende ligning
Den generelle ligning gør det muligt at bruge simple matematiske operationer til at bestemme, ipå hvilke punkter flyet vil skære koordinatakserne. Det er vigtigt at kende disse oplysninger for at få en idé om flyets position i rummet, samt når det afbildes på tegningerne.
For at bestemme de navngivne skæringspunkter bruges en ligning i segmenter. Det kaldes så, fordi det eksplicit indeholder værdierne af længderne af segmenterne afskåret af planet på koordinatakserne, når man tæller fra punktet (0; 0; 0). Lad os få denne ligning.
Skriv det generelle udtryk for flyet som følger:
Ax + By + Cz=-D
Venstre og højre del kan divideres med -D uden at krænke lighed. Vi har:
A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 eller
x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1
Design nævnerne for hvert led med et nyt symbol, vi får:
p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C derefter
x/p + y/q + z/r=1
Dette er ligningen nævnt ovenfor i segmenter. Det følger af det, at værdien af nævneren for hvert led angiver koordinaten for skæringen med den tilsvarende akse i planet. For eksempel skærer den y-aksen i punktet (0; q; 0). Dette er let at forstå, hvis du erstatter nul x- og z-koordinaterne i ligningen.
Bemærk, at hvis der ikke er nogen variabel i ligningen i segmenterne, betyder det, at planet ikke skærer den tilsvarende akse. For eksempel givet udtrykket:
x/p + y/q=1
Det betyder, at planet vil afskære segmenterne p og q på henholdsvis x- og y-akserne, men det vil være parallelt med z-aksen.
Konklusion om flyets opførsel, hvornårfraværet af en variabel i hendes ligning gælder også for et generelt typeudtryk, som vist i figuren nedenfor.
Vektorparametrisk ligning
Der er en tredje slags ligning, der gør det muligt at beskrive et plan i rummet. Det kaldes en parametrisk vektor, fordi det er givet af to vektorer, der ligger i planet, og to parametre, der kan tage vilkårlige uafhængige værdier. Lad os vise, hvordan denne ligning kan opnås.
Antag, at der er et par kendte vektorer u ¯(a1; b1; c1) og v¯(a2; b2; c2). Hvis de ikke er parallelle, kan de bruges til at indstille et specifikt plan ved at fastgøre begyndelsen af en af disse vektorer til et kendt punkt M(x0; y0; z0). Hvis en vilkårlig vektor MP¯ kan repræsenteres som en kombination af lineære vektorer u¯ og v¯, betyder det, at punktet P(x; y; z) tilhører samme plan som u¯, v¯. Således kan vi skrive ligheden:
MP¯=αu¯ + βv¯
Eller hvis vi skriver denne lighed i form af koordinater, får vi:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a1; b1; c1) + β(a 2; b2; c2)
Den præsenterede lighed er en parametrisk vektorligning for planet. PÅvektorrum på planet u¯ og v¯ kaldes generatorer.
Når dernæst løses problemet, vil det blive vist, hvordan denne ligning kan reduceres til en generel form for et fly.
Vinkel mellem fly i rummet
Intuitivt kan fly i 3D-rum enten krydse hinanden eller ej. I det første tilfælde er det interessant at finde vinklen mellem dem. Beregningen af denne vinkel er sværere end vinklen mellem linjer, da vi taler om et dihedr alt geometrisk objekt. Den allerede nævnte guidevektor for flyet kommer dog til undsætning.
Det er geometrisk fastslået, at den dihedriske vinkel mellem to skærende planer er nøjagtigt lig med vinklen mellem deres ledevektorer. Lad os betegne disse vektorer som n1¯(a1; b1; c1) og n2¯(a2; b2; c2). Cosinus af vinklen mellem dem bestemmes ud fra skalarproduktet. Det vil sige, at selve vinklen i mellemrummet mellem planerne kan beregnes med formlen:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Her bruges modulet i nævneren til at kassere værdien af den stumpe vinkel (mellem skærende planer er den altid mindre end eller lig med 90o).
I koordinatform kan dette udtryk omskrives som følger:
φ=arccos(|a1a2 + b1b 2 +c1c2|/(√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b22 + c 22)))
Planer vinkelrette og parallelle
Hvis planerne skærer hinanden, og den dihedriske vinkel dannet af dem er 90o, så vil de være vinkelrette. Et eksempel på sådanne planer er et rektangulært prisme eller en terning. Disse figurer er dannet af seks planer. Ved hvert hjørne af de navngivne figurer er der tre planer vinkelret på hinanden.
For at finde ud af, om de betragtede planer er vinkelrette, er det nok at beregne skalarproduktet af deres normale vektorer. En tilstrækkelig betingelse for vinkelrethed i planets rum er nulværdien af dette produkt.
Parallelle kaldes ikke-skærende planer. Nogle gange siges det også, at parallelle planer skærer hinanden i det uendelige. Betingelsen for parallelitet i planernes rum falder sammen med denne betingelse for retningsvektorerne n1¯ og n2¯. Du kan tjekke det på to måder:
- Beregn cosinus for den dihedriske vinkel (cos(φ)) ved hjælp af skalarproduktet. Hvis planerne er parallelle, vil værdien være 1.
- Prøv at repræsentere en vektor gennem en anden ved at gange med et tal, dvs. n1¯=kn2¯. Hvis dette kan lade sig gøre, så er de tilsvarende flyparallel.
Figuren viser to parallelle planer.
Lad os nu give eksempler på løsning af to interessante problemer ved hjælp af den opnåede matematiske viden.
Hvordan får man en generel form fra en vektorligning?
Dette er et parametrisk vektorudtryk for et plan. For at gøre det lettere at forstå strømmen af operationer og de anvendte matematiske tricks, overvej et specifikt eksempel:
(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)
Udvid dette udtryk og udtryk de ukendte parametre:
x=1 + 2α;
y=2 - α + β;
z=α + 3β
Derefter:
α=(x - 1)/2;
β=y - 2 + (x - 1)/2;
z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)
Når vi åbner parenteserne i det sidste udtryk, får vi:
z=2x-2 + 3y - 6 eller
2x + 3y - z - 8=0
Vi har fået den generelle form af ligningen for det plan, der er angivet i problemformuleringen i vektorform
Hvordan bygger man et fly gennem tre punkter?
Det er muligt at tegne et enkelt plan gennem tre punkter, hvis disse punkter ikke hører til en enkelt ret linje. Algoritmen til at løse dette problem består af følgende rækkefølge af handlinger:
- find koordinaterne for to vektorer ved at forbinde parvise kendte punkter;
- beregn deres krydsprodukt og få en vektor normal på planet;
- skriv den generelle ligning ved hjælp af den fundne vektor ogethvert af de tre punkter.
Lad os tage et konkret eksempel. Givet point:
R(1; 2; 0), P(0; -3; 4), Q(1; -2; 2)
Koordinaterne for de to vektorer er:
RP¯(-1; -5; 4), PQ¯(1; 1; -2)
Deres krydsprodukt vil være:
n¯=[RP¯PQ¯]=(6; 2; 4)
Når vi tager koordinaterne for punkt R, får vi den påkrævede ligning:
6x + 2y + 4z -10=0 eller
3x + y + 2z -5=0
Det anbefales at kontrollere rigtigheden af resultatet ved at erstatte koordinaterne for de resterende to punkter i dette udtryk:
for P: 30 + (-3) + 24 -5=0;
for Q: 31 + (-2) + 22 -5=0
Bemærk at det var muligt ikke at finde vektorproduktet, men skriv straks ligningen for planet ned i en parametrisk vektorform.
