Linje og plan er de to vigtigste geometriske elementer, der kan bruges til at konstruere forskellige former i 2D- og 3D-rum. Overvej, hvordan du finder afstanden mellem parallelle linjer og parallelle planer.
Matematikopgave lige linje
Fra skolegeometrikurset er det kendt, at i et todimension alt rektangulært koordinatsystem kan en linje angives i følgende form:
y=kx + b.
Hvor k og b er tal (parametre). Den skrevne form for at repræsentere en linje i et plan er et plan, der er parallelt med z-aksen i tredimensionelt rum. I lyset af dette vil vi i denne artikel, til den matematiske tildeling af en lige linje, bruge en mere bekvem og universel form - en vektor.
Antag, at vores linje er parallel med en eller anden vektor u¯(a, b, c) og går gennem punktet P(x0, y0, z0). I dette tilfælde, i vektorform, vil dens ligning blive repræsenteret som følger:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Her er λ et hvilket som helst tal. Hvis vi eksplicit repræsenterer koordinaterne ved at udvide det skrevne udtryk, vil vi få en parametrisk form for at skrive en lige linje.
Det er praktisk at arbejde med en vektorligning, når man løser forskellige problemer, hvor det er nødvendigt at bestemme afstanden mellem parallelle linjer.
Linjer og afstanden mellem dem
Det giver mening kun at tale om afstanden mellem linjer, når de er parallelle (i det tredimensionale tilfælde er der også en afstand mellem skæve linjer, der ikke er nul). Hvis linjerne skærer hinanden, er det tydeligt, at de er i nul afstand fra hinanden.
Afstanden mellem parallelle linjer er længden af den vinkelrette, der forbinder dem. For at bestemme denne indikator er det nok at vælge et vilkårligt punkt på en af linjerne og slippe en vinkelret fra den til en anden.
Lad os kort beskrive proceduren for at finde den ønskede afstand. Antag, at vi kender vektorligningerne for to linjer, som præsenteres i følgende generelle form:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Konstruer et parallelogram på disse linjer, så en af siderne er PQ, og den anden f.eks. u. Det er klart, at højden af denne figur, tegnet fra punktet P, er længden af den krævede vinkelret. For at finde det, kan du anvende følgende enkleformel:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Da afstanden mellem rette linjer er længden af det vinkelrette segment mellem dem, er det ifølge det skrevne udtryk nok at finde modulet af vektorproduktet af PQ¯ og u¯ og dividere resultatet med længden af vektoren u¯.
Et eksempel på en opgave til at bestemme afstanden mellem rette linjer
To lige linjer er givet af følgende vektorligninger:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Fra de skrevne udtryk er det tydeligt, at vi har to parallelle linjer. Faktisk, hvis vi multiplicerer med -1 koordinaterne for retningsvektoren for den første linje, får vi koordinaterne for retningsvektoren for den anden linje, hvilket indikerer deres parallelitet.
Afstanden mellem lige linjer vil blive beregnet ved hjælp af formlen skrevet i det foregående afsnit i artiklen. Vi har:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Så får vi:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2.535 cm.
Bemærk, at i stedet for punkterne P og Q kan absolut alle punkter, der hører til disse linjer, bruges til at løse problemet. I dette tilfælde ville vi få den samme afstand d.
Indstilling af et plan i geometri
Spørgsmålet om afstanden mellem linjerne blev diskuteret i detaljer ovenfor. Lad os nu vise, hvordan man finder afstanden mellem parallelle planer.
Alle repræsenterer, hvad et fly er. Ifølge den matematiske definition er det angivne geometriske element en samling af punkter. Desuden, hvis du komponerer alle mulige vektorer ved hjælp af disse punkter, vil de alle være vinkelrette på en enkelt vektor. Sidstnævnte kaldes norm alt normalen til flyet.
For at specificere ligningen for et plan i tredimensionelt rum, bruges den generelle form af ligningen oftest. Det ser sådan ud:
Ax + By + Cz + D=0.
Hvor latinske store bogstaver er nogle tal. Det er praktisk at bruge denne form for planligning, fordi koordinaterne for normalvektoren er eksplicit angivet i den. De er A, B, C.
Det er let at se, at to planer kun er parallelle, når deres normaler er parallelle.
Hvordan finder man afstanden mellem to parallelle planer ?
For at bestemme den specificerede afstand, bør du klart forstå, hvad der er på spil. Afstanden mellem planer, der er parallelle med hinanden, forstås som længden af segmentet vinkelret på dem. Enderne af dette segment tilhører fly.
Algorithmen til at løse sådanne problemer er enkel. For at gøre dette skal du finde koordinaterne for absolut ethvert punkt, der hører til et af de to planer. Så skal du bruge denne formel:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Da afstanden er en positiv værdi, er modultegnet i tælleren. Den skrevne formel er universel, da den giver dig mulighed for at beregne afstanden fra flyet til absolut ethvert geometrisk element. Det er nok at kende koordinaterne for et punkt af dette element.
For fuldstændighedens skyld bemærker vi, at hvis normalerne af to planer ikke er parallelle med hinanden, så vil sådanne planer skære hinanden. Afstanden mellem dem vil da være nul.
Problemet med at bestemme afstanden mellem fly
Det er kendt, at to planer er givet ved følgende udtryk:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Det er nødvendigt at bevise, at flyene er parallelle, og også at bestemme afstanden mellem dem.
For at besvare den første del af opgaven skal du bringe den første ligning til en generel form. Bemærk, at det er givet i den såkaldte form af en ligning i segmenter. Gang dens venstre og højre del med 15 og flyt alle led til den ene side af ligningen, vi får:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Lad os skrive koordinaterne for to normalvektorer af planerne:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Det kan ses, at hvis n2¯ ganges med 5, så får vi nøjagtigt koordinaterne n1¯. Således er de betragtede flyparallel.
For at beregne afstanden mellem parallelle planer skal du vælge et vilkårligt punkt af den første af dem og bruge ovenstående formel. Lad os for eksempel tage punktet (0, 0, 1), som hører til det første plan. Så får vi:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Ønsket afstand er 31 mm.
Afstand mellem fly og linje
Den teoretiske viden giver os også mulighed for at løse problemet med at bestemme afstanden mellem en ret linje og et plan. Det er allerede blevet nævnt ovenfor, at den formel, der er gyldig for beregninger mellem fly, er universel. Det kan også bruges til at løse problemet. For at gøre dette skal du blot vælge ethvert punkt, der hører til den givne linje.
Hovedproblemet ved at bestemme afstanden mellem de betragtede geometriske elementer er beviset for deres parallelitet (hvis ikke, så d=0). Parallelisme er let at bevise, hvis man beregner skalarproduktet af normalen og retningsvektoren for linjen. Hvis de overvejede elementer er parallelle, vil dette produkt være lig nul.
