Plane ligninger. Vinkel mellem to planer

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-02 17:43

Et plan er sammen med et punkt og en lige linje et grundlæggende geometrisk element. Med dens brug bygges mange figurer i rumlig geometri. I denne artikel vil vi overveje mere detaljeret spørgsmålet om, hvordan man finder en vinkel mellem to planer.

Koncept

Før du taler om vinklen mellem to planer, bør du godt forstå, hvilket element i geometri vi taler om. Lad os forstå terminologien. Et fly er en endeløs samling af punkter i rummet, der forbinder som vi får vektorer. Sidstnævnte vil være vinkelret på en vektor. Det kaldes almindeligvis normalen til flyet.

Figuren ovenfor viser et plan og to normale vektorer til det. Det kan ses, at begge vektorer ligger på den samme rette linje. Vinklen mellem dem er 180o.

ligninger

Vinklen mellem to planer kan bestemmes, hvis den matematiske ligning for det betragtede geometriske element er kendt. Der er flere typer af sådanne ligninger,hvis navne er anført nedenfor:

• generel type;
• vektor;
• i segmenter.

Disse tre typer er de mest bekvemme til at løse forskellige slags problemer, så de bruges oftest.

En generel typeligning ser sådan ud:

Ax + By + Cz + D=0.

Her er x, y, z koordinaterne for et vilkårligt punkt, der hører til det givne plan. Parametrene A, B, C og D er tal. Bekvemmeligheden ved denne notation ligger i, at tallene A, B, C er koordinaterne for en vektor normal på planet.

Planets vektorform kan repræsenteres som følger:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Here (a₂, b₂, c₂) og (a_{) 1}, b₁, c₁) - parametre for to koordinatvektorer, der hører til det betragtede plan. Punktet (x₀, y₀, z_{0) ligger også i dette plan. Parametrene α og β kan have uafhængige og vilkårlige værdier.}

Til sidst er ligningen for planet i segmenter repræsenteret i følgende matematiske form:

x/p + y/q + z/l=1.

Her er p, q, l specifikke tal (inklusive negative). Denne form for ligning er nyttig, når det er nødvendigt at afbilde en plan i et rektangulært koordinatsystem, da tallene p, q, l viser skæringspunkterne med x-, y- og z-aksernefly.

Bemærk, at hver ligningstype kan konverteres til enhver anden ved hjælp af simple matematiske operationer.

Formel for vinklen mellem to planer

Overvej nu følgende nuance. I tredimensionelt rum kan to planer kun placeres på to måder. Enten skæres eller være parallel. Mellem to planer er vinklen det, der er placeret mellem deres guidevektorer (normal). Skærende, 2 vektorer danner 2 vinkler (spidse og stumpe i det generelle tilfælde). Vinklen mellem planerne anses for at være spids. Overvej ligningen.

Formlen for vinklen mellem to planer er:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Det er let at gætte, at dette udtryk er en direkte konsekvens af skalarproduktet af normalvektorerne n₁¯ og n₂ ¯ for de betragtede fly. Modulus for prikproduktet i tælleren indikerer, at vinklen θ kun vil tage værdier fra 0^o til 90^{o. Produktet af moduler af normalvektorer i nævneren betyder produktet af deres længder.}

Bemærk, hvis (n₁¯n_{2¯)=0, så skærer planerne hinanden i en ret vinkel.}

Eksempelproblem

Når vi har fundet ud af, hvad der kaldes vinklen mellem to planer, løser vi følgende problem. Som et eksempel. Så det er nødvendigt at beregne vinklen mellem sådanne planer:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

For at løse problemet skal du kende retningsvektorerne for flyene. For det første plan er normalvektoren: n₁¯=(2, -3, 0). For at finde den anden plan normalvektor skal man gange vektorerne efter parametrene α og β. Resultatet er en vektor: n_{2¯=(5, -3, 2).}

For at bestemme vinklen θ bruger vi formlen fra forrige afsnit. Vi får:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Den beregnede vinkel i radianer svarer til 31,26^o. Således skærer planerne fra problemets tilstand i en vinkel på 31, 26^o.