Selv i skolen studerede vi hver især ligninger og helt sikkert ligningssystemer. Men ikke mange mennesker ved, at der er flere måder at løse dem på. I dag vil vi analysere i detaljer alle metoder til løsning af et system af lineære algebraiske ligninger, som består af mere end to ligheder.
Historie
I dag er det kendt, at kunsten at løse ligninger og deres systemer opstod i det gamle Babylon og Egypten. Imidlertid opstod ligheder i deres sædvanlige form efter fremkomsten af lighedstegnet "=", som blev indført i 1556 af den engelske matematiker Record. Forresten blev dette tegn valgt af en grund: det betyder to parallelle lige store segmenter. Der er faktisk ikke noget bedre eksempel på ligestilling.
Grundlæggeren af moderne bogstavbetegnelser for ukendte og tegn på grader er den franske matematiker Francois Viet. Hans betegnelser afveg dog væsentligt fra nutidens. For eksempel betegnede han kvadratet af et ukendt tal med bogstavet Q (lat. "quadratus"), og terningen med bogstavet C (lat. "cubus"). Disse betegnelser virker nu ubelejlige, men altsådet var den mest forståelige måde at skrive systemer med lineære algebraiske ligninger på.
Men ulempen ved de daværende løsningsmetoder var, at matematikere kun betragtede positive rødder. Måske skyldes dette, at negative værdier ikke havde nogen praktisk brug. På en eller anden måde var det de italienske matematikere Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano og Rafael Bombelli, der var de første til at overveje negative rødder i det 16. århundrede. Og det moderne udseende, hovedmetoden til løsning af andengradsligninger (gennem diskriminanten) blev først skabt i det 17. århundrede takket være Descartes og Newtons arbejde.
I midten af 1700-tallet fandt den schweiziske matematiker Gabriel Cramer en ny måde at gøre det lettere at løse lineære ligninger. Denne metode blev efterfølgende opkaldt efter ham, og den dag i dag bruger vi den. Men vi vil tale om Cramer-metoden lidt senere, men indtil videre vil vi diskutere lineære ligninger og metoder til at løse dem adskilt fra systemet.
Lineære ligninger
Lineære ligninger er de enkleste ligheder med variable(r). De er klassificeret som algebraiske. Lineære ligninger skrives i generel form som følger: 2+…a x =b. Vi får brug for deres repræsentation i denne form, når vi kompilerer systemer og matricer yderligere.
Systemer af lineære algebraiske ligninger
Definitionen af dette udtryk er denne: det er et sæt ligninger, der har fælles ubekendte og en fælles løsning. Som regel blev alt i skolen bestemt af systemermed to eller endda tre ligninger. Men der er systemer med fire eller flere komponenter. Lad os først finde ud af, hvordan man skriver dem ned, så det er praktisk at løse dem senere. For det første vil systemer med lineære algebraiske ligninger se bedre ud, hvis alle variabler skrives som x med det passende indeks: 1, 2, 3 og så videre. For det andet skal alle ligninger reduceres til den kanoniske form: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Efter alle disse trin kan vi begynde at tale om, hvordan man finder en løsning på systemer med lineære ligninger. Matricer vil være meget nyttige til dette.
Matricer
En matrix er en tabel, der består af rækker og kolonner, og dens elementer er placeret i deres skæringspunkt. Disse kan enten være specifikke værdier eller variable. Oftest, for at udpege elementer, placeres abonnenter under dem (f.eks. a11 eller a23). Det første indeks betyder rækkenummeret og det andet kolonnenummeret. På matricer såvel som på ethvert andet matematisk element kan du udføre forskellige operationer. Så du kan:
1) Træk fra og tilføj tabeller af samme størrelse.
2) Multiplicer en matrix med et tal eller en vektor.
3) Transponer: Gør matrixrækker til kolonner og kolonner til rækker.
4) Multiplicer matricer, hvis antallet af rækker i en af dem er lig med antallet af kolonner i den anden.
Vi vil diskutere alle disse teknikker mere detaljeret, da de vil være nyttige for os i fremtiden. At trække og tilføje matricer er meget let. Såda vi tager matricer af samme størrelse, svarer hvert element i en tabel til hvert element i en anden. Vi tilføjer (trækker fra) disse to elementer (det er vigtigt, at de er de samme steder i deres matricer). Når du multiplicerer en matrix med et tal eller en vektor, skal du blot gange hvert element i matrixen med dette tal (eller vektor). Transponering er en meget interessant proces. Det er nogle gange meget interessant at se det i det virkelige liv, for eksempel når du ændrer retningen på en tablet eller telefon. Ikonerne på skrivebordet er en matrix, og når du ændrer positionen, transponeres den og bliver bredere, men falder i højden.
Lad os se på en sådan proces som matrixmultiplikation igen. Selvom det ikke vil være nyttigt for os, vil det stadig være nyttigt at vide det. Du kan kun gange to matricer, hvis antallet af kolonner i den ene tabel er lig med antallet af rækker i den anden. Lad os nu tage elementerne i en række af en matrix og elementerne i den tilsvarende kolonne i en anden. Vi multiplicerer dem med hinanden og adderer dem derefter (dvs. f.eks. produktet af elementerne a11 og a12 med b 12og b22 vil være lig med: a11b12 + a 12 b22). Således opnås ét element i tabellen, og det udfyldes yderligere ved en lignende metode.
Nu kan vi begynde at se på, hvordan systemet med lineære ligninger løses.
Gauss-metode
Dette emne begynder at bestå selv i skolen. Vi kender godt begrebet "system af to lineære ligninger" og ved, hvordan man løser dem. Men hvad hvis antallet af ligninger er mere end to? Gauss-metoden vil hjælpe os med dette.
Selvfølgelig er denne metode praktisk at bruge, hvis du laver en matrix ud af systemet. Men du kan ikke transformere det og løse det i sin reneste form.
Så hvordan løser denne metode systemet med lineære Gauss-ligninger? Forresten, selvom denne metode er opkaldt efter ham, blev den opdaget i oldtiden. Gauss foreslår følgende: at udføre operationer med ligninger for til sidst at reducere hele mængden til en trinvis form. Det vil sige, det er nødvendigt, at fra top til bund (hvis den er placeret korrekt) fra den første ligning til den sidste, en ukendt falder. Med andre ord skal vi sikre os, at vi f.eks. får tre ligninger: i den første - tre ubekendte, i den anden - to, i den tredje - en. Fra den sidste ligning finder vi den første ukendte, erstatter dens værdi med den anden eller første ligning og finder derefter de resterende to variable.
Cramer-metode
For at mestre denne metode er det afgørende at beherske færdighederne til addition, subtraktion af matricer, og du skal også være i stand til at finde determinanter. Derfor, hvis du gør alt dette dårligt eller slet ikke ved hvordan, bliver du nødt til at lære og øve dig.
Hvad er essensen af denne metode, og hvordan gør man det, så der opnås et system af lineære Cramer-ligninger? Alt er meget enkelt. Vi skal konstruere en matrix ud fra numeriske (næsten altid) koefficienter for et system af lineære algebraiske ligninger. For at gøre dette skal du blot tage tallene foran de ukendte og arrangere demtabel i den rækkefølge, de er registreret i systemet. Hvis tallet indledes med et "-"-tegn, skriver vi en negativ koefficient. Så vi har kompileret den første matrix ud fra koefficienterne for de ukendte, uden at inkludere tallene efter lighedstegnene (naturligvis skal ligningen reduceres til den kanoniske form, når kun tallet er til højre, og alle de ukendte med koefficienter til venstre). Så skal du lave flere matricer - en for hver variabel. For at gøre dette erstatter vi på skift hver kolonne med koefficienter i den første matrix med en kolonne med tal efter lighedstegnet. Således opnår vi flere matricer og finder derefter deres determinanter.
Efter at vi har fundet determinanterne, er sagen lille. Vi har en startmatrix, og der er flere resulterende matricer, der svarer til forskellige variable. For at få systemets løsninger dividerer vi determinanten af den resulterende tabel med determinanten af den indledende tabel. Det resulterende tal er værdien af en af variablerne. På samme måde finder vi alle ukendte.
Andre metoder
Der er flere metoder til at få løsningen af systemer med lineære ligninger. Eksempelvis den såkaldte Gauss-Jordan-metode, som bruges til at finde løsninger til et system af andengradsligninger og også er forbundet med brugen af matricer. Der er også en Jacobi-metode til at løse et system af lineære algebraiske ligninger. Det er det nemmeste at tilpasse til en computer og bruges i computere.
Svære sager
Kompleksitet opstår norm alt, når antallet af ligninger er mindre end antallet af variable. Så kan vi med sikkerhed sige, at enten er systemet inkonsekvent (det vil sige, det har ingen rødder), eller også har antallet af dets løsninger en tendens til uendeligt. Hvis vi har det andet tilfælde, skal vi nedskrive den generelle løsning af systemet af lineære ligninger. Den vil indeholde mindst én variabel.
Konklusion
Her kommer vi til slutningen. For at opsummere: vi har analyseret, hvad et system og en matrix er, vi har lært, hvordan man finder en generel løsning til et system af lineære ligninger. Derudover blev andre muligheder overvejet. Vi fandt ud af, hvordan systemet med lineære ligninger løses: Gauss-metoden og Cramer-metoden. Vi t alte om vanskelige sager og andre måder at finde løsninger på.
Faktisk er dette emne meget mere omfattende, og hvis du ønsker at forstå det bedre, råder vi dig til at læse mere specialiseret litteratur.
