Trekantet pyramide og formler til bestemmelse af dens areal

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 05:21

Pyramide er en geometrisk rumlig figur, hvis karakteristika studeres i gymnasiet i løbet af solid geometri. I denne artikel vil vi overveje en trekantet pyramide, dens typer samt formler til beregning af dens overfladeareal.

Hvilken pyramide taler vi om?

En trekantet pyramide er en figur, der kan opnås ved at forbinde alle hjørnerne i en vilkårlig trekant med et enkelt punkt, der ikke ligger i denne trekants plan. Ifølge denne definition skal den pågældende pyramide bestå af en starttrekant, som kaldes figurens basis, og tre sidetrekanter, der har en fælles side med basen og er forbundet med hinanden i et punkt. Sidstnævnte kaldes toppen af pyramiden.

Billedet ovenfor viser en vilkårlig trekantet pyramide.

Den betragtede figur kan være skrå eller lige. I sidstnævnte tilfælde skal den vinkelrette, der falder fra toppen af pyramiden til dens base, skære den i det geometriske centrum. det geometriske centrum af evttrekant er skæringspunktet mellem dens medianer. Det geometriske centrum falder sammen med figurens massecenter i fysik.

Hvis en regulær (ligesidet) trekant ligger i bunden af en lige pyramide, så kaldes den en regulær trekantet. I en regulær pyramide er alle sider lig med hinanden og er ligesidede trekanter.

Hvis højden af en regulær pyramide er sådan, at dens sidetrekanter bliver ligesidede, så kaldes den et tetraeder. I et tetraeder er alle fire flader lig med hinanden, så hver af dem kan betragtes som en base.

Pyramideelementer

Disse elementer omfatter ansigter eller sider af en figur, dens kanter, spidser, højde og apotemer.

Som vist er alle sider af en trekantet pyramide trekanter. Deres nummer er 4 (3 sider og en i bunden).

Hjedpunkterne er skæringspunkterne mellem de tre trekantede sider. Det er ikke svært at gætte, at der er 4 af dem for den pågældende pyramide (3 hører til basen og 1 til toppen af pyramiden).

Kanter kan defineres som linjer, der skærer to trekantede sider, eller som linjer, der forbinder hver anden top. Antallet af kanter svarer til det dobbelte af antallet af basishjørner, det vil sige, for en trekantet pyramide er det 6 (3 kanter hører til basen, og 3 kanter er dannet af sidefladerne).

Højde, som nævnt ovenfor, er længden af vinkelret tegnet fra toppen af pyramiden til dens base. Hvis vi tegner højder fra dette toppunkt til hver side af den trekantede base,så vil de blive kaldt apotemer (eller apotemer). Således har den trekantede pyramide én højde og tre apotemer. Sidstnævnte er lig med hinanden for en regulær pyramide.

Pyramidens bund og dens område

Da grundfladen for den betragtede figur generelt er en trekant, er det for at beregne dens areal nok at finde dens højde h_o og længden af siden af basen a, hvorpå den er sænket. Formlen for arealet S_o af basen er:

S_o=1/2t_oa

Hvis trekanten af basen er ligesidet, beregnes arealet af basen af den trekantede pyramide ved hjælp af følgende formel:

S_o=√3/4a²

Det vil sige, at området S_oer entydigt bestemt af længden af side a på den trekantede base.

Side og samlede areal af figuren

Før man overvejer arealet af en trekantet pyramide, er det nyttigt at vise dens udvikling. Hun er afbilledet nedenfor.

Arealet af dette sweep dannet af fire trekanter er det samlede areal af pyramiden. En af trekanterne svarer til basen, hvis formlen for den betragtede værdi er skrevet ovenfor. Tre laterale trekantede flader danner sammen det laterale område af figuren. For at bestemme denne værdi er det derfor nok at anvende ovenstående formel for en vilkårlig trekant på hver af dem og derefter tilføje de tre resultater.

Hvis pyramiden er korrekt, så beregningenlateral overfladeareal er lettet, da alle laterale flader er identiske ligesidede trekanter. Angiv h_blængden af apotemet, så kan arealet af sidefladen S_b bestemmes som følger:

S_b=3/2ah_b

Denne formel følger af det generelle udtryk for arealet af en trekant. Tallet 3 dukkede op i tællere på grund af det faktum, at pyramiden har tre sideflader.

Apotema h_b i en regulær pyramide kan beregnes, hvis højden af tallet h er kendt. Ved at anvende Pythagoras sætning får vi:

h_b=√(h²+ a²/12)

Det er klart, at det samlede areal S af figurens overflade er lig med summen af dens side- og basisarealer:

S=S_o+ S_b

For en almindelig pyramide, der erstatter alle kendte værdier, får vi formlen:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Arealet af en trekantet pyramide afhænger kun af længden af siden af dens base og af højden.

Eksempelproblem

Det er kendt, at sidekanten af en trekantet pyramide er 7 cm, og siden af basen er 5 cm. Du skal finde overfladearealet af figuren, hvis du ved, at pyramiden er almindelig.

Brug en generel ligestilling:

S=S_o+ S_b

Area S_oer lig med:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825 cm}2.

For at bestemme det laterale overfladeareal skal du finde apotemaet. Det er ikke svært at vise, at gennem længden af sidekanten a_b bestemmes den af formlen:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6.538 cm.}

Så området for S_b er:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm2.

Det samlede areal af pyramiden er:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86cm².

Bemærk, at da vi løste problemet, brugte vi ikke værdien af pyramidehøjden i beregningerne.