Geometriske figurer i rummet er genstand for undersøgelse af stereometri, hvis forløb bestået af skolebørn i gymnasiet. Denne artikel er afsat til et så perfekt polyeder som et prisme. Lad os overveje mere detaljeret egenskaberne af et prisme og give de formler, der tjener til at beskrive dem kvantitativt.
Hvad er et prisme?
Alle forestiller sig, hvordan en æske eller terning ser ud. Begge figurer er prismer. Klassen af prismer er dog meget mere forskelligartet. I geometri er denne figur givet følgende definition: et prisme er ethvert polyeder i rummet, som er dannet af to parallelle og identiske polygonale sider og flere parallelogrammer. Identiske parallelle flader af en figur kaldes dens baser (øvre og nedre). Parallelogrammer er figurens sideflader, der forbinder basens sider med hinanden.
Hvis basen er repræsenteret af en n-gon, hvor n er et heltal, vil figuren bestå af 2+n flader, 2n hjørner og 3n kanter. Ansigter og kanter henviser tilen af to typer: enten hører de til sidefladen eller til baserne. Hvad angår hjørnerne, er de alle lige store og hører til prismets grundflader.
Typer af figurer i klassen under undersøgelse
Når du studerer et prismes egenskaber, bør du liste de mulige typer af denne figur:
- Konveks og konkav. Forskellen mellem dem ligger i formen af den polygonale base. Hvis den er konkav, så vil den også være en tredimensionel figur, og omvendt.
- Lige og skrå. For et lige prisme er sidefladerne enten rektangler eller firkanter. I en skrå figur er sidefladerne parallellogrammer af en generel type eller romber.
- Forkert og rigtigt. For at figuren, der skal studeres, er korrekt, skal den være lige og have den rigtige base. Et eksempel på sidstnævnte er flade figurer såsom en ligesidet trekant eller en firkant.
Navnet på prismet er dannet under hensyntagen til den anførte klassifikation. For eksempel kaldes den retvinklede parallelepipedum eller terning nævnt ovenfor et regulært firkantet prisme. Regelmæssige prismer er på grund af deres høje symmetri praktiske at studere. Deres egenskaber er udtrykt i form af specifikke matematiske formler.
prismeområde
Når man betragter en sådan egenskab ved et prisme som dets areal, mener de det samlede areal af alle dets ansigter. Det er nemmest at forestille sig denne værdi, hvis du folder figuren ud, det vil sige udvider alle ansigterne til et plan. Nedenfor påFiguren viser et eksempel på et sweep af to prismer.
For et vilkårligt prisme kan formlen for arealet af dets sweep i generel form skrives som følger:
S=2So+ bPsr.
Lad os forklare notationen. Værdien So er arealet af en base, b er længden af sidekanten, Psr er den afskårne omkreds, som er vinkelret på figurens sideparallellogrammer.
Den skrevne formel bruges ofte til at bestemme områderne af skrå prismer. I tilfælde af et regulært prisme vil udtrykket for S antage en bestemt form:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Det første led i udtrykket repræsenterer arealet af de to baser af et regulært prisme, det andet led er arealet af siderektanglerne. Her er a længden af siden af en regulær n-gon. Bemærk, at længden af sidekanten b for et regulært prisme også er dens højde h, så i formlen kan b erstattes af h.
Hvordan beregner man volumen af en figur?
Prism er et relativt simpelt polyeder med høj symmetri. Derfor, for at bestemme dens volumen, er der en meget enkel formel. Det ser sådan ud:
V=Soh.
Beregning af basisareal og højde kan være vanskelig, når man ser på en skrå uregelmæssig form. Dette problem er løst ved hjælp af sekventiel geometrisk analyse, der involverer information om de dihedriske vinkler mellem sideparallellogrammerne og basen.
Hvis prismet er korrekt, såformlen for V bliver helt konkret:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Som du kan se, er arealet S og volumen V for et regulært prisme entydigt bestemt, hvis to af dets lineære parametre er kendt.
Trekantet regulært prisme
Lad os afslutte artiklen med at overveje egenskaberne ved et regulært trekantet prisme. Den er dannet af fem flader, hvoraf tre er rektangler (firkanter), og to er ligesidede trekanter. Et prisme har seks hjørner og ni kanter. For dette prisme er formlerne for volumen og overfladeareal skrevet nedenfor:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Udover disse egenskaber er det også nyttigt at give en formel for apotemet for figurens basis, som er højden ha af en ligesidet trekant:
ha=√3/2a.
Prismets sider er identiske rektangler. Længden af deres diagonaler d er:
d=√(a2+ h2).
Kendskab til de geometriske egenskaber ved et trekantet prisme er af ikke kun teoretisk, men også praktisk interesse. Faktum er, at denne figur, lavet af optisk glas, bruges til at studere kroppens strålingsspektrum.
Igennem et glasprisme nedbrydes lyset til en række komponentfarver som følge af spredningsfænomenet, hvilket skaber betingelser for at studere den spektrale sammensætning af en elektromagnetisk flux.
