Direkte trekantet prisme. Formler for volumen og overfladeareal. Løsning af et geometrisk problem

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-02 17:43

I gymnasiet, efter at have studeret egenskaberne af figurer på flyet, går de videre til at overveje rumlige geometriske objekter såsom prismer, kugler, pyramider, cylindre og kegler. I denne artikel vil vi give den mest komplette beskrivelse af et lige trekantet prisme.

Hvad er et trekantet prisme?

Lad os starte artiklen med definitionen af figuren, som vil blive diskuteret yderligere. Et prisme fra et geometrisk synspunkt er en figur i rummet dannet af to identiske n-goner placeret i parallelle planer, hvis samme vinkler er forbundet med lige linjesegmenter. Disse segmenter kaldes laterale ribben. Sammen med siderne af basen danner de en sideflade, som generelt er repræsenteret ved parallelogrammer.

To n-goner er figurens base. Hvis sidekanterne er vinkelrette på dem, så taler de om et lige prisme. Følgelig, hvis antallet af sider n af polygonen ved baserne er tre, kaldes en sådan figur et trekantet prisme.

Det trekantede lige prisme er vist ovenfor på figuren. Denne figur kaldes også regulær, da dens baser er ligesidede trekanter. Længden af figurens sidekant, angivet med bogstavet h i figuren, kaldes dens højde.

Figuren viser, at et prisme med en trekantet base er dannet af fem flader, hvoraf to er ligesidede trekanter, og tre er identiske rektangler. Ud over fladerne har prismet seks spidser ved bunden og ni kanter. Antallet af betragtede elementer er relateret til hinanden ved Euler-sætningen:

antal kanter=antal spidser + antal sider - 2.

Areal af et retvinklet trekantet prisme

Vi fandt ud af ovenfor, at den pågældende figur er dannet af fem flader af to typer (to trekanter, tre rektangler). Alle disse flader danner den fulde overflade af prismet. Deres samlede areal er arealet af figuren. Nedenfor ses en trekantet prisme udfoldning, som kan fås ved først at skære to bunde af fra figuren, og derefter skære langs den ene kant og folde sidefladen ud.

Lad os give formler til bestemmelse af overfladearealet af denne sweep. Lad os starte med baserne af et retvinklet trekantet prisme. Da de repræsenterer trekanter, kan arealet S_{3 af hver af dem findes som følger:}

S₃=1/2ah_a.

Her er a siden af trekanten, h_{a er højden sænket fra trekantens toppunkt til denne side.}

Hvis trekanten er ligesidet (regelmæssig), afhænger formlen for S_{3 kun af én parameter a. Det ser ud som:}

S₃=√3/4a^2.

Dette udtryk kan opnås ved at betragte en retvinklet trekant dannet af segmenterne a, a/2, h_a.

Arealet af baser S_o for et regulært tal er dobbelt så stor som værdien af S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

Hvad angår det laterale overfladeareal S_{b, er det ikke svært at beregne det. For at gøre dette er det nok at gange med tre arealet af et knoglerektangel dannet af siderne a og h. Den tilsvarende formel er:}

S_b=3at.

Således findes arealet af et regulært prisme med en trekantet base ved følgende formel:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Hvis prismet er lige, men uregelmæssigt, skal du for at beregne dets areal separat tilføje områderne af rektangler, der ikke er ens med hinanden.

Bestemte volumen af en figur

Volumen af et prisme forstås som det rum, der er begrænset af dets sider (ansigter). At beregne volumenet af et retvinklet trekantet prisme er meget lettere end at beregne dets overfladeareal. For at gøre dette er det nok at kende området af basen og højden af figuren. Da højden h af en lige figur er længden af dens sidekant, og hvordan man beregner basisarealet, har vi givet i den foregåendepunkt, så er det tilbage at multiplicere disse to værdier med hinanden for at opnå det ønskede volumen. Formlen for det bliver:

V=S_3h.

Bemærk, at produktet af arealet af en base og højden vil give volumen af ikke kun et lige prisme, men også en skrå figur og endda en cylinder.

Problemløsning

Trekantede glasprismer bruges i optik til at studere spektret af elektromagnetisk stråling på grund af fænomenet spredning. Det er kendt, at et almindeligt glasprisme har en bundsidelængde på 10 cm og en kantlængde på 15 cm. Hvad er arealet af dets glasflader, og hvilket volumen indeholder det?

For at bestemme arealet vil vi bruge formlen skrevet i artiklen. Vi har:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6 cm^2.

For at bestemme volumen V bruger vi også ovenstående formel:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 cm}3^.

På trods af at prismets kanter er 10 cm og 15 cm lange, er figurens rumfang kun 0,65 liter (en terning med en side på 10 cm har et rumfang på 1 liter).