Overfladeareal af et lige prisme: formler og et eksempel på et problem

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-02 17:43

Volumen og overfladeareal er to vigtige egenskaber ved enhver krop, der har begrænsede dimensioner i tredimensionelt rum. I denne artikel betragter vi en velkendt klasse af polyedre - prismer. Især spørgsmålet om, hvordan man finder overfladearealet af et lige prisme, vil blive afsløret.

Hvad er et prisme?

Et prisme er ethvert polyeder, der er afgrænset af flere parallelogrammer og to identiske polygoner placeret i parallelle planer. Disse polygoner betragtes som figurens baser, og dens parallelogrammer er siderne. Antallet af sider (hjørner) af basen bestemmer navnet på figuren. For eksempel viser figuren nedenfor et femkantet prisme.

Afstanden mellem baserne kaldes figurens højde. Hvis højden er lig med længden af enhver sidekant, vil et sådant prisme være lige. Den anden tilstrækkelige egenskab for et lige prisme er, at alle dets sider er rektangler eller firkanter. Hvis dogHvis den ene side er et generelt parallelogram, vil figuren være skrå. Nedenfor kan du se, hvordan de lige og skrå prismer visuelt adskiller sig på eksemplet med firkantede figurer.

Overfladeareal af et lige prisme

Hvis en geometrisk figur har en n-gonal base, så består den af n+2 flader, hvoraf n er rektangler. Lad os betegne længderne af siderne af basen som a_i, hvor i=1, 2, …, n, og angive højden af figuren, som er lig med længden af sidekant, som h. For at bestemme arealet (S) af overfladen af alle flader, skal du tilføje arealet S_{o af hver af baserne og alle siderne (rektangler). Således kan formlen for S i generel form skrives som følger:}

S=2S_o+ S_b

Hvor S_{b er det laterale overfladeareal.}

Da bunden af et lige prisme kan være absolut en hvilken som helst flad polygon, kan en enkelt formel til beregning af S_{oikke gives, og for at bestemme denne værdi, i den generelle I tilfælde af at der skal udføres geometrisk analyse. For eksempel, hvis grundfladen er en regulær n-gon med side a, så beregnes dens areal ved formlen:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

Hvad angår værdien af S_{b, kan udtrykket for dens beregning gives. Det laterale overfladeareal af et lige prisme er:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

Det vil sige værdienS_{b beregnes som produktet af figurens højde og omkredsen af dens base.}

Eksempel på problemløsning

Lad os anvende den erhvervede viden til at løse følgende geometriske problem. Givet et prisme, hvis basis er en retvinklet trekant med sider i en ret vinkel på 5 cm og 7 cm. Figurens højde er 10 cm. Det er nødvendigt at finde overfladearealet af et retvinklet trekantet prisme.

Først, lad os beregne hypotenusen af trekanten. Det vil være lig med:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Lad os nu lave endnu en forberedende matematisk operation - beregn omkredsen af basen. Det bliver:

P=5 + 7 + 8,6=20,6 cm

Arealet af figurens sideflade beregnes som produktet af værdien P og højden h=10 cm, det vil sige S_b=206 cm ^2.

For at finde arealet af hele overfladen skal der lægges to basisområder til den fundne værdi. Da arealet af en retvinklet trekant er bestemt af halvdelen af produktet af benene, får vi:

2S_o=257/2=35cm²

Så får vi, at overfladearealet af et lige trekantet prisme er 35 + 206=241 cm2.