Skolens geometrikursus er opdelt i to store sektioner: planimetri og solid geometri. Stereometri studerer rumlige figurer og deres karakteristika. I denne artikel vil vi se på, hvad et lige prisme er, og give formler, der beskriver dets egenskaber såsom diagonallængder, volumen og overfladeareal.
Hvad er et prisme?
Når skolebørn bliver bedt om at nævne definitionen af et prisme, svarer de, at denne figur er to identiske parallelle polygoner, hvis sider er forbundet med parallelogrammer. Denne definition er så generel som muligt, da den ikke stiller betingelser for formen af polygoner, for deres indbyrdes arrangement i parallelle planer. Derudover indebærer det tilstedeværelsen af forbindende parallelogrammer, hvis klasse også inkluderer en firkant, en rombe og et rektangel. Nedenfor kan du se, hvad et firkantet prisme er.
Vi ser, at et prisme er et polyeder (polyhedron) bestående af n + 2sider, 2 × n hjørner og 3 × n kanter, hvor n er antallet af sider (hjørner) af en af polygonerne.
Begge polygoner kaldes norm alt figurens grundflader, de andre flader er siderne af prismet.
Konceptet med et lige prisme
Der er forskellige slags prismer. Så de taler om regelmæssige og uregelmæssige figurer, om trekantede, femkantede og andre prismer, der er konvekse og konkave figurer, og endelig er de skrå og lige. Lad os tale om sidstnævnte mere detaljeret.
Et ret prisme er sådan en figur af den studerede klasse af polyedre, hvor alle sidefirkanter har rette vinkler. Der er kun to typer af sådanne firkanter - et rektangel og et kvadrat.
Den betragtede form af figuren har en vigtig egenskab: Højden af et lige prisme er lig med længden af dets sidekant. Bemærk, at alle sidekanter af figuren er ens med hinanden. Hvad angår sidefladerne, er de i det generelle tilfælde ikke ens med hinanden. Deres lighed er mulig, hvis det udover at prismet er lige, også vil være korrekt.
Figuren nedenfor viser en lige figur med en femkantet base. Det kan ses, at alle dens sideflader er rektangler.
Prismediagonaler og dets lineære parametre
De vigtigste lineære karakteristika for ethvert prisme er dets højde h og længderne af siderne af dets basis ai, hvor i=1, …, n. Hvis basen er en regulær polygon, er det tilstrækkeligt at kende længden a af den ene side for at beskrive dens egenskaber. At kende de markerede lineære parametre giver os mulighed for utvetydigtdefinere sådanne egenskaber ved en figur som dens volumen eller overflade.
Diagonalerne af et lige prisme er segmenter, der forbinder to ikke-tilstødende hjørner. Sådanne diagonaler kan være af tre typer:
- ligger i basisplanerne;
- placeret i siderektanglernes planer;
- figurer tilhørende bindet.
Længderne af disse diagonaler relateret til basen bør bestemmes afhængigt af typen af n-gon.
Diagonaler af siderektangler beregnes ved hjælp af følgende formel:
d1i=√(ai2+ h2).
For at bestemme volumendiagonaler skal du kende værdien af længden af den tilsvarende basisdiagonal og højde. Hvis en eller anden diagonal af basen er angivet med bogstavet d0i, beregnes volumendiagonalen d2i som følger:
d2i=√(d0i2+ h2).
For eksempel, i tilfælde af et regulært firkantet prisme, vil længden af volumendiagonalen være:
d2=√(2 × a2+ h2).
Bemærk, at et retvinklet trekantet prisme kun har én af de tre navngivne typer diagonaler: sidediagonalen.
Overfladen af den undersøgte klasse af former
Overfladeareal er summen af arealerne af alle flader på en figur. For at visualisere alle ansigterne skal du lave en scanning af prismet. Som et eksempel er et sådant sweep for en femkantet figur vist nedenfor.
Vi ser, at antallet af plane figurer er n + 2, og n er rektangler. For at beregne arealet af hele sweep skal du tilføje områderne af to identiske baser og områderne af alle rektangler. Så vil den tilsvarende formel se sådan ud:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Denne lighed viser, at det laterale overfladeareal for den undersøgte type prismer er lig med produktet af figurens højde og omkredsen af dens base.
Grundarealet af So kan beregnes ved at anvende den passende geometriske formel. For eksempel, hvis bunden af et ret prisme er en retvinklet trekant, får vi:
So=a1 × a2 / 2.
Hvor a1 og a2 er trekantens ben.
Hvis basen er en n-gon med lige store vinkler og sider, vil følgende formel være retfærdig:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Volume Formula
Det er ikke en vanskelig opgave at bestemme volumenet af et prisme af enhver art, hvis dets grundareal So og højden h er kendt. Hvis vi multiplicerer disse værdier sammen, får vi volumen V af figuren, det vil sige:
V=So × h.
Da parameteren h for et lige prisme er lig med længden af sidekanten, kommer hele problemet med at beregne volumen til at beregne arealet So. Over oshar allerede sagt et par ord og givet et par formler for at bestemme So. Her bemærker vi kun, at i tilfælde af en vilkårlig formet base, skal du opdele den i simple segmenter (trekanter, rektangler), beregne arealet af hver og derefter tilføje alle områderne for at få S o.
