Det femkantede prisme til løsning af problemer i geometri er meget mindre almindeligt end sådanne prismer som trekantede, firkantede eller sekskantede. Ikke desto mindre er det nyttigt at gennemgå de grundlæggende egenskaber ved denne form, samt lære at tegne den.
Hvad er et femkantet prisme?
Dette er en tredimensionel figur, hvis basis er femkanter, og siderne er parallellogrammer. Hvis hver af disse parallelogrammer er vinkelret på de parallelle baser, kaldes et sådant prisme rektangulært. Den laterale overflade af et rektangulært femkantet prisme er sammensat af fem rektangler. Desuden er den side, der støder op til bunden af hver af dem, lig med den tilsvarende længde af siden af femkanten.
Hvis femkanten er regulær, det vil sige, at alle dens sider og vinkler er ens med hinanden, så kaldes et sådant rektangulært prisme regulært. Længere i artiklen vil vi overveje egenskaberne ved denne særlige figur.
Prismeelementer
For hende, som for ethvert prisme,følgende elementer er karakteristiske:
- ansigter eller sider er dele af planer, der afgrænser en figur i rummet;
- tops - skæringspunkter mellem tre sider;
- ribben - segmenter af skæringspunktet mellem to sider af figuren.
Numrene på alle navngivne elementer er relateret til hinanden med følgende lighed:
Antal kanter=antal hjørner + antal flader - 2
Dette udtryk kaldes Euler-formlen for polyederet.
I et femkantet prisme er antallet af sider syv (to baser + fem rektangler). Antallet af toppe er 10 (fem for hver base). Antallet af kanter i dette tilfælde vil være:
Antal ribben=10 + 7 - 2=15
Ti kanter hører til prismets basis, og fem kanter er dannet af rektangler.
Hvordan tegner man et femkantet prisme?
Svaret på dette spørgsmål afhænger af den specifikke opgave. Hvis det er nødvendigt at tegne et vilkårligt prisme, skal enhver femkant tegnes. Tegn derefter fem parallelle segmenter af samme længde fra hvert toppunkt i femkanten. Forbind derefter de øvre ender af segmenterne. Resultatet er et femkantet vilkårligt prisme.
Hvis det er nødvendigt at tegne et regulært prisme, så kommer hele opgavens kompleksitet ned på at opnå en regulær femkant. Der er flere måder at tegne denne polygon på. Her vil vi kun overveje to måder.
Den første måde er at tegne en cirkel med et kompas. Derefter tegnes en vilkårlig diametercirkel og fem vinkler tælles fra den ved hjælp af en vinkelmåler ved 72o(572o=360o). Ved optælling af hver vinkel laves der et hak på cirklen. For at bygge et rektangel er det tilbage at forbinde de markerede indhak med lige segmenter.
Den anden metode involverer kun at bruge et kompas og en lineal. Det er noget komplekst i forhold til det foregående. Nedenfor er en video, der i detaljer forklarer hvert trin i denne build.
Bemærk, at det er nemt at tegne en femkant, hvis du forbinder enderne af stjernen. Hvis det ikke er nødvendigt at tegne en nøjagtig regulær femkant, så kan du bruge den håndtegnede stjernemetode.
Så snart femkanten er tegnet, skal du tegne fem identiske parallelle segmenter fra hver af dens hjørner og forbinde deres spidser. Resultatet er et femkantet prisme.
Formområde
Overvej nu, hvordan man finder arealet af et femkantet prisme. Nedenstående figur viser dens udvikling. Det kan ses, at det nødvendige areal er dannet af to identiske femkanter og fem rektangler, der er lig med hinanden.
Arealet af hele figurens overflade er udtrykt ved formlen:
S=2So+ 5Sp
Her betyder indekserne o og p henholdsvis grundfladen og rektanglet. Lad os betegne længden af siden af femkanten som a, og højden af figuren som h. Så for rektanglet skriver vi:
Sp=ah
For at beregne arealet af en femkant,brug den universelle formel:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Hvor n er antallet af sider af polygonen. Hvis vi erstatter n=5, får vi:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
Nøjagtigheden af den resulterende lighed er 3 decimaler, hvilket er ganske nok til at løse eventuelle problemer.
Nu er det tilbage at finde summen af de opnåede arealer af basen og sidefladen. Vi har:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a h
Det skal huskes, at den resulterende formel kun er gyldig for et rektangulært prisme. I tilfælde af en skrå figur findes arealet af dens laterale overflade baseret på viden om omkredsen af snittet, som skal være vinkelret på alle parallelogrammer.
Figurens volumen
Formlen til at beregne rumfanget af et femkantet prisme er ikke forskellig fra et lignende udtryk for ethvert andet prisme eller cylinder. Rumfanget af en figur er lig med produktet af dens højde og arealet af basen:
V=Soh
Hvis det pågældende prisme er rektangulært, så er dets højde længden af kanten dannet af rektanglerne. Arealet af en regulær femkant er blevet beregnet ovenfor med høj nøjagtighed. Erstat denne værdi i formlen for volumen og få det nødvendige udtryk for et regulært femkantet prisme:
V=1, 72a2h
Beregning af volumen og overfladearealet regulært femkantet prisme er muligt, hvis basens side og figurens højde er kendt.
