I matematik er der begrebet "sæt", såvel som eksempler på at sammenligne de samme mængder med hinanden. Navnene på typer af sammenligning af sæt er følgende ord: bijektion, injektion, indsprøjtning. Hver af dem er beskrevet mere detaljeret nedenfor.
En bijektion er… hvad er det?
En gruppe af elementer i det første sæt er matchet med den anden gruppe af elementer fra det andet sæt i denne form: hvert element i den første gruppe matches direkte med et andet element i den anden gruppe, og der er der ingen situation med mangel på eller opregning af elementer i nogen eller fra to grupper af sæt.
Formulering af de vigtigste egenskaber:
- Et element til et.
- Der er ingen ekstra elementer ved matchning, og den første egenskab er bevaret.
- Det er muligt at vende kortlægningen, mens den generelle visning bevares.
- En bijektion er en funktion, der er både injektiv og surjektiv.
Bijektion fra et videnskabeligt synspunkt
Bijektive funktioner er præcis isomorfismer i kategorien "sæt og sæt af funktioner". Bijektioner er dog ikke altid isomorfismer for mere komplekse kategorier. For eksempel skal morfismer i en bestemt kategori af grupper være homomorfismer, da de skal bevare gruppens struktur. Derfor er isomorfier gruppeisomorfier, som er bijektive homomorfier.
Begrebet "en-til-en korrespondance" er generaliseret til partielle funktioner, hvor de kaldes partielle bijektioner, selvom en partiel bijektion er, hvad der burde være en injektion. Grunden til denne lempelse er, at den delvise (korrekte) funktion ikke længere er defineret for en del af dens domæne. Der er således ingen god grund til at begrænse dens omvendte funktion til en komplet, dvs. defineret over alt i dens domæne. Mængden af alle partielle bijektioner til et givet basissæt kaldes en symmetrisk invers halvgruppe.
En anden måde at definere det samme begreb på: det er værd at sige, at en partiel bijektion af mængder fra A til B er enhver relation R (delfunktion) med den egenskab, at R er en bijektionsgraf f:A'→B 'hvor A' er en delmængde af A, og B' er en delmængde af B.
Når en delvis bijektion er på det samme sæt, kaldes det nogle gange en en-til-en delvis transformation. Et eksempel er Möbius-transformationen, der netop er defineret på det komplekse plan, ikke dens fuldførelse i det udvidede komplekse plan.
Injection
En gruppe af elementer i det første sæt er matchet med den anden gruppe af elementer fra det andet sæt i denne form: hvert element i den første gruppe matches med et andet element i det andet, men ikke alle dem omdannes til par. Antallet af uparrede elementer afhænger af forskellen i antallet af netop disse elementer i hvert af sættene: Hvis et sæt består af enogtredive elementer, og det andet har syv mere, så er antallet af uparrede elementer syv. Direkte injektion i sættet. Bijektion og injektion ligner hinanden, men ikke mere end ens.
Surjection
En gruppe af elementer i det første sæt matches med den anden gruppe af elementer fra det andet sæt på denne måde: hvert element i en gruppe danner et par, selvom der er en forskel mellem antallet af elementer. Det følger heraf, at et element fra en gruppe kan parres med flere elementer fra en anden gruppe.
Hverken bijektiv eller injektiv eller surjektiv funktion
Dette er en funktion af bijektiv og surjektiv form, men med en rest (uparret)=> injektion. I en sådan funktion er der tydeligvis en sammenhæng mellem bijektion og surjektion, da den direkte inkluderer disse to typer af sæt sammenligninger. Så helheden af alle slags funktioner er ikke en af dem isoleret.
Forklaring af alle slags funktioner
Iagttageren er f.eks. fascineret af følgende. Der er bueskydningskonkurrencer. Hver afdeltagere ønsker at ramme målet (for at lette opgaven: præcis hvor pilen rammer, tages der ikke højde for). Kun tre deltagere og tre mål - dette er det første sted (site) for turneringen. I efterfølgende afsnit bevares antallet af bueskytter, men antallet af mål ændres: på det andet - fire mål, på det næste - også fire, og på det fjerde - fem. Hver deltager skyder mod hvert mål.
- Det første mødested for turneringen. Den første bueskytte rammer kun ét mål. Den anden rammer kun ét mål. Den tredje gentager efter de andre, og alle bueskytterne rammer forskellige mål: dem, der er overfor dem. Som et resultat ramte 1 (den første bueskytte) målet (a), 2 - i (b), 3 - i (c). Følgende afhængighed observeres: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Konklusionen vil være den vurdering, at en sådan sammenligning af mængder er en bijektion.
- Den anden platform for turneringen. Den første bueskytte rammer kun ét mål. Den anden rammer også kun ét mål. Den tredje forsøger ikke rigtigt og gentager alt efter de andre, men tilstanden er den samme - alle bueskytterne rammer forskellige mål. Men som tidligere nævnt er der allerede fire mål på den anden platform. Afhængighed: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - uparret element i sættet. I dette tilfælde vil konklusionen være bedømmelsen af, at en sådan sammenligning af et sæt er en indsprøjtning.
- Det tredje sted for turneringen. Den første bueskytte rammer kun ét mål. Den anden rammer kun ét mål igen. Den tredje beslutter sig for at tage sig sammen og rammer det tredje og fjerde mål. Som følge heraf er afhængigheden: 1 -(a), 2-(b), 3-(c), 3-(d). Her vil konklusionen være dommen om, at en sådan sammenligning af mængder er en formodning.
- Den fjerde platform for turneringen. Med den første er alt allerede klart, han rammer kun ét mål, hvor der snart ikke er plads til allerede kedelige hits. Nu påtager den anden rollen som den stadig nye tredjedel og rammer igen kun ét mål, og gentager sig efter det første. Den tredje fortsætter med at kontrollere sig selv og stopper ikke med at introducere sin pil til det tredje og fjerde mål. Den femte var dog stadig uden for hans kontrol. Så afhængighed: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - uparret element i sættet af mål. Konklusion: sådan en sammenligning af sæt er ikke en indsprøjtning, ikke en indsprøjtning og ikke en bijektion.
Nu vil det ikke være et problem at konstruere en bijektion, injektion eller indsprøjtning, ligesom det ikke er noget problem at finde forskelle mellem dem.
