Hvad er et lige prisme? Egenskaber og formler. Opgaveeksempel

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 05:21

Stereometri er studiet af tredimensionelle geometriske formers egenskaber. En af de velkendte volumetriske figurer, der optræder i geometriproblemer, er et lige prisme. Lad os i denne artikel overveje, hvad det er, og også beskrive i detaljer et prisme med en trekantet base.

Prism og dens typer

Et prisme er en figur, der er dannet som et resultat af en parallel translation af en polygon i rummet. Som et resultat af denne geometriske operation dannes en figur, der består af flere parallelogrammer og to identiske polygoner parallelt med hinanden. Parallelogrammer er siderne af prismet, og polygoner er dets baser.

Enhver prisme har n+2 sider, 3n kanter og 2n hjørner, hvor n er antallet af hjørner eller sider af den polygonale base. Billedet viser et femkantet prisme, der har 7 sider, 10 spidser og 15 kanter.

Den betragtede klasse af figurer er repræsenteret af flere typer prismer. Vi lister dem kort:

• konkav og konveks;
• skrå og lige;
• forkert og rigtigt.

Hver figur tilhører en af de tre listede klassifikationstyper. Ved løsning af geometriske problemer er det nemmest at udføre beregninger for regulære og lige prismer. Sidstnævnte vil blive diskuteret mere detaljeret i de følgende afsnit af artiklen.

Hvad er et lige prisme?

Et lige prisme er et konkavt eller konveks, regulært eller uregelmæssigt prisme, hvor alle sider er repræsenteret af firkanter med 90° vinkler. Hvis mindst en af sidernes firkanter ikke er et rektangel eller kvadrat, så kaldes prismet skrå. En anden definition kan også gives: et lige prisme er en sådan figur af en given klasse, hvor enhver sidekant er lig med højden. Under prismets højde h antages afstanden mellem dets baser.

Begge de givne definitioner på, at det er et direkte prisme, er lige store og selvforsynende. Det følger af dem, at alle dihedriske vinkler mellem enhver af baserne og hver side er 90°.

Det blev sagt ovenfor, at det er praktisk at arbejde med lige tal, når man løser problemer. Dette skyldes, at højden matcher længden af sideribben. Sidstnævnte kendsgerning letter processen med at beregne rumfanget af en figur og arealet af dens laterale overflade.

Volumen af et direkte prisme

Volume - en værdi, der er iboende i enhver rumlig figur, som numerisk afspejler den del af rummet, der er indesluttet mellem overfladerne af den betragtedeobjekt. Rumfanget af et prisme kan beregnes ved hjælp af følgende generelle formel:

V=S_oh.

Det vil sige, at produktet af højden og arealet af basen vil give den ønskede værdi V. Da grundfladerne i et lige prisme er ens, så for at bestemme arealet S_o du kan tage enhver af dem.

Fordelen ved at bruge ovenstående formel specifikt til et lige prisme i sammenligning med dets andre typer er, at det er meget nemt at finde højden på figuren, da den falder sammen med længden af sidekanten.

Sideområde

Det er praktisk at beregne ikke kun volumenet for en lige figur af den pågældende klasse, men også dens sideflade. Faktisk er enhver side af den enten et rektangel eller en firkant. Hver elev ved, hvordan man beregner arealet af disse flade figurer, for dette er det nødvendigt at gange tilstødende sider med hinanden.

Antag, at bunden af prismet er en vilkårlig n-gon, hvis sider er lig med a_i. Indeks i går fra 1 til n. Arealet af et rektangel beregnes således:

S_i=a_ih.

Arealet af sidefladen S_ber let at beregne, hvis du lægger alle arealerne S_i rektangler sammen. I dette tilfælde får vi den endelige formel for S_blige prisme:

S_b=h∑_i=1(a_i)=hP_o.

For at bestemme det laterale overfladeareal for et lige prisme skal du gange dets højde med omkredsen af en base.

Problem med et trekantet prisme

Antag, at der er givet et lige prisme. Basen er en retvinklet trekant. Benene i denne trekant er 12 cm og 8 cm. Det er nødvendigt at beregne volumenet af figuren og dens samlede areal, hvis prismets højde er 15 cm.

Først, lad os beregne volumenet af et lige prisme. Trekanten (rektangulær) placeret ved dens baser har et areal:

S_o=a₁a₂/2=128/2=48 cm².

Som du måske kan gætte, er a₁ og a₂ ben i denne ligning. Når du kender grundarealet og højden (se problemets tilstand), kan du bruge formlen for V:

V=S_oh=4815=720cm³.

Det samlede areal af figuren er dannet af to dele: områderne af baserne og den laterale overflade. Områderne af de to baser er:

S_2o=2S_o=482=96cm².

For at beregne det laterale overfladeareal skal du kende omkredsen af en retvinklet trekant. Beregn ved Pythagoras sætning dens hypotenuse a₃, vi har:

a₃ =√(a₁²+ a₂ 2^)=√(122^{+ 8}2^{)=14,42 cm.}

Så vil omkredsen af trekanten af bunden af det højre prisme være:

P=a₁+ a₂+ a₃=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.

Anvendelse af formlen for S_b, som blev skrevet i det foregående afsnit,få:

S_b=hP=1534, 42=516, 3 cm.

Ved tilføjelse af arealerne S_2o og S_b, får vi det samlede overfladeareal af den undersøgte geometriske figur:

S=S_2o+ S_b=96 + 516, 3=612, 3cm^2.

Et trekantet prisme, som er lavet af specielle glastyper, bruges i optik til at studere spektrene af lys-emitterende objekter. Sådanne prismer er i stand til at nedbryde lys til komponentfrekvenser på grund af fænomenet spredning.