Volume er et kendetegn for enhver figur, der har dimensioner, der ikke er nul i alle tre dimensioner af rummet. I denne artikel vil vi ud fra et stereometris synspunkt (geometrien af rumlige figurer) overveje et prisme og vise, hvordan man finder volumen af prismer af forskellige typer.
Hvad er et prisme?
Stereometri har det nøjagtige svar på dette spørgsmål. Et prisme i det forstås som en figur dannet af to identiske polygonale flader og flere parallelogrammer. Billedet nedenfor viser fire forskellige prismer.
Hver af dem kan opnås som følger: du skal tage en polygon (trekant, firkant og så videre) og et segment af en vis længde. Derefter skal hvert hjørne af polygonen overføres ved hjælp af parallelle segmenter til et andet plan. I det nye plan, som vil være parallelt med det originale, vil der blive opnået en ny polygon, svarende til den oprindeligt valgte.
Prismer kan være af forskellige typer. Så de kan være lige, skrå og korrekte. Hvis sidekanten af prismet (segment,forbinder hjørnerne af baserne) vinkelret på figurens baser, så er sidstnævnte en lige linje. Derfor, hvis denne betingelse ikke er opfyldt, taler vi om et skrå prisme. En regulær figur er et ret prisme med en ligekantet og ligesidet base.
Senere i artiklen viser vi, hvordan man beregner rumfanget af hver af disse typer prismer.
Volumen af regulære prismer
Lad os starte med den enkleste sag. Vi giver formlen for rumfanget af et regulært prisme med en n-gonal base. Volumenformlen V for enhver figur i den betragtede klasse er som følger:
V=Soh.
Det vil sige, for at bestemme rumfanget er det nok at beregne arealet af en af basene So og gange det med højden h på figuren.
Hvis der er tale om et regulært prisme, så lad os betegne længden af siden af dets base med bogstavet a og højden, som er lig med længden af sidekanten, med bogstavet h. Hvis n-gonens basis er korrekt, så er den nemmeste måde at beregne dens areal på at bruge følgende universelle formel:
S=n/4a2ctg(pi/n).
Ved at erstatte værdien af antallet af sider n og længden af den ene side a med lighed, kan du beregne arealet af den n-gonale base. Bemærk, at cotangensfunktionen her beregnes for vinklen pi/n, som er udtrykt i radianer.
I betragtning af ligheden skrevet for S, får vi den endelige formel for volumen af et regulært prisme:
V=n/4a2hctg(pi/n).
For hvert enkelt tilfælde kan du skrive de tilsvarende formler for V, men de alleentydigt følge af det skriftlige generelle udtryk. For eksempel, for et regulært firkantet prisme, som i det generelle tilfælde er et rektangulært parallelepipedum, får vi:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 t.
Hvis vi tager h=a i dette udtryk, får vi formlen for terningens rumfang.
Volumen af direkte prismer
Vi bemærker med det samme, at der for lige figurer ikke er nogen generel formel til beregning af volumen, som blev givet ovenfor for regulære prismer. Når du finder den pågældende værdi, skal det originale udtryk bruges:
V=Soh.
Her er h længden af sidekanten, som i det foregående tilfælde. Hvad angår basisområdet So, kan det antage en række værdier. Opgaven med at beregne et lige prisme af volumen er reduceret til at finde arealet af dets base.
Beregningen af værdien af Sobør udføres baseret på egenskaberne for selve basen. For eksempel, hvis det er en trekant, så kan arealet beregnes sådan:
So3=1/2aha.
Her er ha trekantens apotem, det vil sige dens højde sænket til basen a.
Hvis basen er en firkant, så kan den være en trapez, et parallelogram, et rektangel eller en helt vilkårlig type. I alle disse tilfælde skal du bruge den passende planimetriformel til at bestemme arealet. For eksempel ser denne formel ud for en trapezform:
So4=1/2(a1+ a2)h a.
Hvor ha er højden af trapezformen, er a1 og a2 længderne af dens parallelle sider.
For at bestemme arealet for polygoner af højere orden, bør du opdele dem i simple former (trekanter, firkanter) og beregne summen af arealerne af sidstnævnte.
Tilted Prism Volume
Dette er det sværeste tilfælde at beregne rumfanget af et prisme. Den generelle formel for sådanne tal gælder også:
V=Soh.
Men til kompleksiteten i at finde arealet af basen, der repræsenterer en vilkårlig type polygon, tilføjes problemet med at bestemme højden af figuren. Det er altid mindre end længden af sidekanten i et skrå prisme.
Den nemmeste måde at finde denne højde på er, hvis du kender en vinkel på figuren (flad eller dihedral). Hvis en sådan vinkel er givet, så skal man bruge den til at konstruere en retvinklet trekant inde i prismet, som ville indeholde højden h som en af siderne og ved hjælp af trigonometriske funktioner og Pythagoras sætning finde værdien h.
Geometrisk volumenproblem
Givet et regulært prisme med en trekantet base, med en højde på 14 cm og en sidelængde på 5 cm. Hvad er volumen af det trekantede prisme?
Da vi taler om det korrekte tal, har vi ret til at bruge den velkendte formel. Vi har:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151,55 cm3.
Et trekantet prisme er en ret symmetrisk figur, i form af hvilken der ofte laves forskellige arkitektoniske strukturer. Dette glasprisme bruges i optik.
