I geometri, efter et punkt, er en lige linje måske det enkleste element. Det bruges til konstruktion af komplekse figurer på flyet og i tredimensionelt rum. I denne artikel vil vi overveje den generelle ligning af en lige linje og løse et par problemer ved at bruge den. Lad os komme i gang!
Lige linie i geometri
Alle ved, at former som rektangel, trekant, prisme, terning og så videre dannes ved at skære lige linjer. En ret linje i geometri er et endimensionelt objekt, der kan opnås ved at overføre et bestemt punkt til en vektor med samme eller modsatte retning. For bedre at forstå denne definition, forestil dig, at der er et punkt P i rummet. Tag en vilkårlig vektor u¯ i dette rum. Så kan ethvert punkt Q på linjen opnås som et resultat af følgende matematiske operationer:
Q=P + λu¯.
Her er λ et vilkårligt tal, der kan være positivt eller negativt. Hvis ligestillingskriv ovenfor i form af koordinater, så får vi følgende ligning for en ret linje:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Denne lighed kaldes ligningen af en ret linje i vektorform. Og vektoren u¯ kaldes en guide.
Generel ligning for en ret linje i et plan
Hver studerende kan skrive det ned uden besvær. Men oftest skrives ligningen sådan her:
y=kx + b.
Hvor k og b er vilkårlige tal. Tallet b kaldes det gratis medlem. Parameteren k er lig med tangenten til den vinkel, der dannes ved skæringen af den rette linje med x-aksen.
Ovenstående ligning er udtrykt med hensyn til variablen y. Hvis vi præsenterer det i en mere generel form, får vi følgende notation:
Ax + By + C=0.
Det er let at vise, at denne form for at skrive den generelle ligning for en ret linje på en plan let transformeres til den tidligere form. For at gøre dette skal venstre og højre del divideres med faktoren B og udtrykkes y.
Figuren ovenfor viser en lige linje, der går gennem to punkter.
En linje i 3D-rum
Lad os fortsætte vores undersøgelse. Vi overvejede spørgsmålet om, hvordan ligningen for en ret linje i en generel form er givet på et plan. Hvis vi anvender notationen i artiklens foregående afsnit for den rumlige sag, hvad får vi så? Alt er enkelt - ikke længere en lige linje, men et fly. Det følgende udtryk beskriver faktisk et plan, der er parallelt med z-aksen:
Ax + By + C=0.
Hvis C=0, så passerer sådan et flygennem z-aksen. Dette er en vigtig funktion.
Hvordan er man så med den generelle ligning for en ret linje i rummet? For at forstå, hvordan man spørger det, skal du huske noget. To planer skærer hinanden langs en bestemt ret linje. Hvad betyder det? Kun at den generelle ligning er resultatet af løsning af et system med to ligninger for planer. Lad os skrive dette system:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Dette system er den generelle ligning for en ret linje i rummet. Bemærk, at planerne ikke må være parallelle med hinanden, det vil sige, at deres normalvektorer skal hælde i en eller anden vinkel i forhold til hinanden. Ellers har systemet ingen løsninger.
Ovenfor gav vi vektorformen for ligningen for en ret linje. Det er praktisk at bruge, når du løser dette system. For at gøre dette skal du først finde vektorproduktet af normalerne for disse planer. Resultatet af denne operation vil være en retningsvektor af en ret linje. Derefter skal ethvert punkt, der hører til linjen, beregnes. For at gøre dette skal du sætte en hvilken som helst af variablerne lig med en bestemt værdi, de to resterende variable kan findes ved at løse det reducerede system.
Hvordan oversætter man en vektorligning til en generel? Nuancer
Dette er et faktisk problem, der kan opstå, hvis du skal skrive den generelle ligning for en ret linje ved at bruge de kendte koordinater for to punkter. Lad os vise, hvordan dette problem løses med et eksempel. Lad koordinaterne for to punkter være kendt:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Ligning i vektorform er ret nem at komponere. Retningsvektorkoordinaterne er:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Bemærk, at der ikke er nogen forskel, hvis vi trækker Q-koordinaterne fra koordinaterne til punktet P, vil vektoren kun ændre sin retning til det modsatte. Nu skal du tage ethvert punkt og skrive vektorligningen ned:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
For at skrive den generelle ligning for en ret linje, skal parameteren λ udtrykkes i begge tilfælde. Og så sammenligne resultaterne. Vi har:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Det er kun tilbage at åbne parenteserne og overføre alle led i ligningen til den ene side af ligningen for at få et generelt udtryk for en ret linje, der går gennem to kendte punkter.
I tilfælde af et tredimensionelt problem bevares løsningsalgoritmen, kun resultatet vil være et system af to ligninger for planer.
Opgave
Det er nødvendigt at lave en generel ligningen ret linje, der skærer x-aksen ved (-3, 0) og er parallel med y-aksen.
Lad os begynde at løse problemet ved at skrive ligningen i vektorform. Da linjen er parallel med y-aksen, vil retningsvektoren for den være følgende:
u¯=(0, 1).
Derefter vil den ønskede linje blive skrevet som følger:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Lad os nu oversætte dette udtryk til en generel form, for dette udtrykker vi parameteren λ:
- x=-3;
- y=λ.
Enhver værdi af variablen y hører således til linjen, men kun den enkelte værdi af variablen x svarer til den. Derfor vil den generelle ligning have formen:
x + 3=0.
Problem med en lige linje i rummet
Det er kendt, at to skærende planer er givet ved følgende ligninger:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Det er nødvendigt at finde vektorligningen for den rette linje, langs hvilken disse planer skærer hinanden. Lad os komme i gang.
Som det blev sagt, er den generelle ligning for en ret linje i tredimensionelt rum allerede givet i form af et system af to med tre ukendte. Først og fremmest bestemmer vi retningsvektoren, langs hvilken planerne skærer hinanden. Ved at multiplicere vektorkoordinaterne for normalerne til planerne får vi:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Da gange en vektor med et negativt tal vender dens retning, kan vi skrive:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Tilfor at finde et vektorudtryk for en ret linje, ud over retningsvektoren, skal man kende et punkt af denne rette linje. Find da dets koordinater skal opfylde ligningssystemet i problemets tilstand, så finder vi dem. Lad os f.eks. sætte x=0, så får vi:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Således har punktet, der hører til den ønskede rette linje, koordinaterne:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Så får vi svaret på dette problem, vektorligningen for den ønskede linje vil se sådan ud:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Løsningens rigtighed kan let kontrolleres. For at gøre dette skal du vælge en vilkårlig værdi af parameteren λ og erstatte de opnåede koordinater for punktet på den rette linje i begge ligninger for planerne, du vil få en identitet i begge tilfælde.
